Още от училищната и предучилищна скамейка ни внушават, че математиката е точна и безпогрешна наука и ние се изпълваме с немалка доза респект по отношение на нея. Мастити личности са се произнасяли, че една наука може да се смята за развита единствено когато е в състояние да си служи с математиката. Днес ние сме свидетели как математиката постепенно превзе всички останали науки. Тя проникна в цитаделите и на онези от тях, които ничие въображение, само преди стотина години, не би се осмелило да свърже с нея. Целият си технически прогрес дължим на бурното развитие на тази наука. Самолетите, благодарение на които достигаме и до най-отдалечени точки на планетата, совалките излитащи в космическото пространство, нанотехнологиите  и редица клонове на съвременния прогрес, са базирани на точни математически изчисления. Това засяга и ускорителите, в това число и адронния колайдер в ЦЕРН, засяга и модерните клиники за хирургически операции и пр. И тъй като цялата тази многообразна маса от най-разнородни неща се подчинява безотказно на математиката, като на универсален диригент, ние сме склонни да вярваме в мита за нейното всемогъщество и безупречност. Ала попитайте един съвременен професор по математика, що е това ЪГЪЛ и той ще изпадне в сериозно затруднение да ви отговори точно. Едва ли ще ви предложи отговор по-различен от този даван в прогимназиалните учебници:

ЪГЪЛ е съвкупност от два лъча с общо начало.

Признавам си най-чистосърдечно, че откакто се помня се опитвах да осмисля с бедния си мозък тази нелепа безсмислица, но така и не успях /въпреки висшето си образование/ да постигна прогрес, чак до настоящия момент. Затова разкаяно и честно ви заявявам, че аз не зная що е това ЪГЪЛ. И ви моля да не ми задавате подобен въпрос. Горкичкият ми баща се реши на отчаян опит да ми изгради нагледна /макар и силно нецензурна/ представа за понятието ЪГЪЛ. Той ми го дефинира като:

небръснат женски полов орган, разположен между два лъча с общо начало!!!

Благодарен съм му /все още/ за находчивостта, но истината няма общо с каквато и да е находчивост. На фона на тази мъглява прогимназиална дефиниция, се прави опит да се въведе и мярка на ЪГЪЛ, другояче казано - големина. Тук съм длъжен да споделя, че древните геометри са разглеждали ЪГЪЛА като ОТКЛОНЕНИЕ на една права от друга. Но веднага, разбира се, възниква въпросът - що за животно е това т.нар. ОТКЛОНЕНИЕ?  А тук нещата стават съвсем безнадеждни. И така, няма нищо срамно в това да признаем, че математиката не е успяла да даде точна дефиниция на понятието ЪГЪЛ. Тя го е оставила в ръцете на едната ни гола интуиция. Фактически ние разполагаме с най-различни теореми за ЪГЛИ, като например тази, че:

Сборът от големините на ъглите на един триъгълник в равнината е винаги равен на един ИЗПРАВЕН ЪГЪЛ.

Истинско чудо на чудесата! За едно мъгляво понятие са намерени и "доказани" множество теореми. Попитали известен математик, дали е забелязал, че ъглите в стаята му не са прави, а той отговорил:

Да, забелязах. Но ме утешава фактът, че сборът им е равен на два изправени ъгъла!

          В съвременната математика битува вредната тенденция да се дефинират нещата от гледна точка на максимална абстрактност. Бих казал, че това е заразителна и пагубна мода. Ще ви онагледя този феномен по следния начин. Да речем, че КОН е математическо понятие, чийто смисъл се нуждаете да разберете. Отваряте престижен учебник и в него четете следното:

КАРУЦА се нарича всяка машина с 4 колела и мощност не по-малка от 1 конска сила. ОБИКНОВЕНА КАРУЦА наричаме КАРУЦА с 4 обикновени колела. КОН е това, което стои при движение пред ОБИКНОВЕНА КАРУЦА.

В това модерно определение за КОН вероятно ви направиха впечатление известен брой странности. Те са, че преди да се въведе понятието КОН се въвежда понятието КАРУЦА.  Но дори  и тази каруца не е обикновена, а е възможно най-абстрактна. Обикновената каруца се въвежда след нея. Използва се и понятието конска сила, без да сме наясно още, що е кон. И чак на последно място - на опашката, идва ред на въвеждането на КОНЯ. Отговорете ми честно -  не е ли това чисто безумие? Ала такава е математическата реалност понастоящем.

           Друг, не по-малко шокиращ пример на математическо понятие с неопределимо съдържание, е понятието означавано със символа dx /чете се диференциал на х/. Въведено от самия създател на диференциалното и интегрално смятане - Готфрид Лайбниц, то е останало завинаги като свещена индийска крава в математиката. Без него е трудно да си представим оперирането с диференциали и интеграли. Смисълът му, обаче, е абсолютно неразгадаем. Не съществува понастоящем математик на тази планета, който да е в състояние да ви обясни смислено що е това dx. Самият Лайбниц е приемал, че dx означава дължината на една точка!!!  Сиреч безкрайномалка величина. Математиката присъединява безкрайномалките и безкрайноголемите величини към своето свръхчувствително тяло, но завинаги си остава алергична към тях. За нея те хем не съществуват, хем биват широко употребявани, когато без тях не може да се мине. С една дума - престъпници с особен статут, които математическото законодателство не лови, точно както прави и българското! Бедните студенти по математика. С уголемени от любознателност очи те се опитват да научат какво означава dx през целия срок на следването си, но така и не получават смислен отговор, освен този, че dx това е всъщност dy, когато функцията y съвпада с x.

Анализирайки изложеното по-горе, не е никак за учудване, че:

до най-дълбоки математически РЕЗУЛТАТИ са стигнали онези математици, които са се дистанцирали максимално от математиката и са размишлявали за ТЯХ с нематематически средства.

          Едно от най-загадъчните числа в математиката е числото ПИ. Още древните са забелязали, че дължината на произволна окръжност разделена на дължината на диаметъра й е едно абсолютно число. То е неизчислимо. Задавали са го единствено чрез негови дробни приближения. Вероятно си спомняте от училищния курс, че ПИ е приблизително равно на 22/7. Ако вземете окръжност с дължина на радиуса 1, то лицето на кръга, заграден от тази окръжност е ПИ. Древните гърци се опитали да построят само с линийка и пергел страната на квадрат с лице равно на ПИ. Тази задача е известна като ЗАДАЧА ЗА КВАДРАТУРАТА НА КРЪГА. След хилядолетия било доказано, че тя е нерешима. Оттук изразът КВАДРАТУРА НА КРЪГА станал нарицателен за неща, които са невъзможни. Причината за нерешимостта на древната задача била особената природа на числото ПИ. То не само, че не е дробно, но не е решение и на никакво алгебрично уравнение от крайна степен с коефициенти цели числа. Такива числа наричат ТРАНСЦЕНДЕНТНИ. Невъзможно е да си представим нагледно подобни числа, защото не разполагаме със сетива за тях. Те лежат в друга част на числовия спектър. Както комарите чуват ултразвука, а ние хората - не, така вероятно има извънземни, които осезават /за разлика от хората/  с "очите" си трансцендентните числа и в частност виждат числото ПИ, вероятно дори в цветове!


Може би ще си кажете:


Защо този ни говори първоначално за ъгли, а сега за ПИ? Какво общо има едното с другото?

Отговорът не е чак толкова изненадващ. Просто

една окръжност е мястото на всички онези точки от равнината /в която тя лежи/, откъдето всеки неин диаметър се вижда под прав ъгъл.


И така - тайната на числото ПИ е тайната на окръжността.

Възможно ли е да съществува обобщен аналог на окръжността, който да не е свързан с някаква обобщаваща ПИ константа?

Досега не съм намерил отговор на този труден въпрос, но не съм и изгубил още надежда, че някой ден може би някой вас ще го намери. А дотогава, да вярваме все още на математиката, докато дойде моментът, когато самолетите ще престанат да могат да летят. Защото съм убеден, че този ден, рано или късно, ще настъпи!