Съвършените числа са рожби на древната математика. Тази математика, която описва в своя исторически труд "Пробуждащата се наука" холандският математик Бартел Леендерт ван дер Варден /1903 - 1996/. Характерно за тях е, че те са цели положителни числа, равни на сбора от всички свои делители /към делителите причисляваме и 1/. Най-малкото такова число е 6. Неговите делители са 1, 2, 3. Сборът им е точно 6. Виждаме, че числото 6 е четно. Пръв великият древногръцки геометър Евклид, създател на величествената сграда на геометрията, днес наричана в негова чест Евклидова и изучавана за ужас на учениците в училищата, дава една формула, по която се получават четни съвършени числа.  Евклид се занимавал с проблема за простите числа. Това са числата:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 и т.н.

Тези числа нямат други делители освен себе си и числото 1. Те са нещо като атоми на целите положителни числа. Евклид заподозрял, че простите числа са безбройно много и се измъчвал дълго време от факта, че не успявал да докаже подозрението си. Най-накрая той намерил доказателство, което може да бъде разбрано и от уличен метач. Евклид използвал способ на доказателство особено модерен в онези времена. Този способ е известен като допускане на противното. Той допуснал, че простите числа са краен брой и означил тяхното произведение с P. После прибавил към това произведение числото 1. Така получил числото A = P + 1. Точно тук Евклид, като един Шерлок Холмс, пуснал в действие логиката. Тъй като А е по-голямо от произведението на всички прости числа, то А не може да е просто число, разсъждавал Евклид. Следователно А трябва да се дели на някое от простите числа участващи в произведението P. Нека то се дели например на простото число q. Но точно тук ще осъзнаем съвсем ясно абсурдността на ситуацията. Защото от една страна q е делител на P. А тогава А = P + 1 ще дава остатък 1 при деление на q. Значи е изключено q да е делител на А. Достигнахме до чисто логическо противоречие.

Значи простите числа са безбройно много!

Представям си какво чувство на върховно удовлетворение е изпитал тук Евклид от своето елегантно, кратко и безупречно логическо доказателство за безбройността на простите числа. Не е за учудване, че Евклид потърсил формула за съвършените числа, базирана върху простите числа. Той взел едно произволно просто число q и тествал дали и числото: - 1 + 2 на степен q е просто. Ако последното е вярно, то Евклид означавал това число с M(q) и го умножавал с числото 2 повдигнато на степен (q -1). Евклид доказал строго, че всяко такова число е съвършено. Така той получавал четни съвършени числа по своята формула. Но той не знаел, дали е в сила обратното твърдение. А то е:

дали ако едно четно число е съвършено, то се задава по формулата на Евклид.

Това било доказано от великия Ойлер. Така въпросът за намиране на явна формула описваща всички четни съвършени числа бил решен напълно от Евклид и Ойлер. Да разгледаме как работи тяхната формула. За q = 2 имаме M(2) = 3 - просто число. Така получаваме, че първото четно съвършено число е 2.M(2) = 6. Следващото получаваме при q = 3. Имаме M(3) = 7. И по формулата на Евклид-Ойлер намираме, че числото 4.M(3) = 4.7 = 28  е съвършено. Наистина:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 /в дясната страна на това равенство са сборувани всички делители на 28/

Следващото четно съвършено число формулата на Евклид-Ойлер дава при q =5. Имаме M(5) = 31. Значи числото 16.M(5) = 16.31 = 496 e третото по големина четно съвършено число. Оставям на вас да изпишете всички делители на числото 496, а после да ги сборувате и проверите, че този сбор е точно 496.

   Формулата на Евклид-Ойлер има и своята тъмна страна. Не е ясно кога точно числото M(q) е просто. Например още при q = 11 имаме M(11) = 2047 = 23.89, т.е. числото M(11) не е просто. По тази причина числото

1024.M(11) = 1024.2047 = 2096128 не е съвършено.

Големият въпрос е: дали простите числа M(q) са безбройно много или са само краен брой?

Ако те са безбройно много, то тогава безбройно много ще са и четните съвършени числа. Ако, обаче, тези прости числа са краен брой, то и четните съвършени числа ще бъдат краен брой.

Уви, до ден-днешен световната математика на разполага с отговора на този въпрос.

На математиците от древни времена направило впечатление отсъствието на нечетни числа по-големи от 1, които да са съвършени. Положени били неистови усилия да бъдат открити подобни числа. Уви, всички тези усилия се оказали напразни. Причината да не бъдат открити можела да се дължи

или на факта, че тези числа са чудовищно големи, или на обстоятелството, че такива числа въобще не съществуват.

Днес са обявени много големи парични награди за онзи, който или пръв открие такова число или  докаже, че то не съществува. Онзи, който се справи с отговора на тази главоблъсканица го очаква безсмъртна слава.

    Може би вече забелязахте, че равенството 6 = 1 + 2 + 3  поражда равенството: 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6.  Последното означава:

сборът от реципрочните на делителите на едно съвършено число е винаги 1.

Това може да ни ентусиазира да подходим от друг ъгъл към проблема за нечетните съвършени числа. А по-точно да потърсим нечетни числа такива, че сборът от реципрочните на някои техни различни делители да дава 1.

Най-малкото такова число е 945.

За жалост то не е съвършено. Изследвайки в тази насока, можем да се натъкнем на любопитни равенства с египетски дроби. Ето един симпатичен пример:

1 = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/15 + 1/21 + 1/231 + 1/315.

А вие изпробвайте силите си да намерите и други такива. Но имам едно предупреждение към вас. Броят на събираемите е винаги нечетно число, но не по-малко от 9.