Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta

       През 1931г. австрийският математик Курт Гьодел формулира двете свои, станали знаменити, теореми за непълнота. Фактически те удостоверяват гротескността и несъстоятелността на претенциите на аритметиката да въведе пълноценно и непротиворечиво безкрайността като математическо понятие. Предполагам още от училищната скамейка сте изпитвали срам и чувство за обида, когато даскали по математика, "с педантичен вид и очилато високомерие", са ви пробутвали твърденията си за важността и значимостта на математиката, но вместо да извадят гълъб от ръкава са предлагали единствено безкрайно скучната и монотонна аритметика. Смея да твърдя, че именно аритметиката със своята низша природа е отблъсквала много млади хора от математиката, най-малкото заради това, че действа антивдъхновяващо. А как да повярваме тогава, че върху подобна система може да бъде изградено нещо висше и примамливо.

Единият резултат на Гьодел /първата теорема/ дефакто твърди, че:

нито аритметиката, нито която и да е логическа теория базирана на нея, не може да установи непротиворечивостта си със собствени средства.  Това може да бъде сторено единствено с помощта на по-мощна теория /т.е. теория която я съдържа/.

Ситуацията е такава, че ако приемем аритметиката за най-вътрешната и най-малка кукла от т.нар. кукли - матрьошки /руски кукли, всяка от които съдържа в себе си друга от същия вид/, то за да установим непротиворечивостта на аритметиката по безапелационен начин, сме задължени да установим непротиворечивостта на безкрайната редица от разширяващи се матрьошки. А коя е Последната - Максималната матрьошка, съдържаща в себе си всички останали, включително и аритметиката? Бог! - досетливо ще изречете вие и ще бъдете прави. Без Бог - Максималният елемент, няма да можем да установим непротиворечивостта на аритметиката.

Но непротиворечив ли е Бог или напротив - е висше единство на противоречията?!

         Тази - първа теорема на Гьодел, ако се замислим, изразява нещо твърде близко до ума. А именно:

Нищо, което не е барон фон Мюнхаузен /в частност и аритметиката/ не може да се повдигне само, като се хване за собствените коси и се опитва с тяхна помощ да се изтегли нагоре. Необходима е външна сила, която да го хване за косите и да го изтегли чрез тях. Тази външна сила е по-голямата логическа теория!

           Втората теорема на Гьодел предполагам, че е била изненадваща и за неговия учител - великият Давид Хилберт, който след нея се простил окончателно с мечтите си да обоснове финитно основите на математиката. Тя гласи следното:

Аритметиката, както и всяка логическа теория, която я съдържа, ако е непротиворечива е непълна.

А непълна означава, че съдържа твърдение /да го наречем критично твърдение/ верността или неверността на което е неизводима само с нейни средства. Такива твърдения са като дупките в швейцарското сирене. Те са неизбежни, защото са рожба на производството му. Но толкова ли е страшна ситуацията? Моят отговор е - не! Тя е дори спасителна!!! Защото вземете едно такова твърдение Т в една такава теория L. Вие не може да установите дали Т е лъжа или истина със средствата на L. И тогава именно, отчаяна от безизходицата, главата ви ражда прозрение - да добавите към аксиомите на L твърдението Т като нова аксиома. В резултат ще получите нова логическа теория L'. Но току-що лекомислено пропуснахте една друга, при това равноценна възможност - да добавите към аксиомите на L логическото отрицание на Т в ролята на нова аксиома. Така получавате още една нова логическа теория L". "Реката" L се разклони на два ръкава: L' и L'' - типичен пример за бифуркация /разделяне/ в изходната теория L, причинена от срещата с едно критично твърдение. Нещо като делене на яйцеклетка. Ние разполагаме с подобен класически и исторически пример на бифуркация. Например абсолютната геометрия L се е разделила на евклидова и неевклидова под действието на критичното твърдение Т, известно още като Пети постулат на Евклид:

През точка нележаща на една права минава само една права успоредна на нея.

Добавяйки това, уж очевидно, твърдение Т към тялото на аксиомите на абсолютната геометрия, вие получавате изучаваната в училищата евклидова геометрия, наименована така в чест на нейния откривател - древногръцкият геометър Евклид. Ала добавяйки към същата група аксиоми неочевидната аксиома:

През точка нележаща на една права минават поне две прави успоредна на нея,

която е всъщност логическото отрицание на Т, вие получавате нова и крайно нестандартна геометрия открита най-напред от Карл Фридрих Гаус, а впоследствие преоткрита от унгарския математик Янош Бояй и руснака Николай Лобачевски, известна като неевклидова геометрия.

/следва/

Бел. на автора. В научната литература наричат първа теорема на Гьодел това, което аз нарекох втора теорема и обратно.  Избраната от мен номерация в есето е с оглед на по-далечни цели.