Материалът е продължение на:

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-2

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-3

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-4

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-5

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-6

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-7

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-8

      Теорията на множествата станала голямата надежда на всички, които имали бляна да видят завършена сградата на математиката. Тяхната светая светих била една математика положена на краен брой непротиворечиви фусове, която се издига като безкраен небостъргач от подземните си етажи до най-високите небета. Тук е много важно да подчертаем отново, че акцентът пада на словосъчетанието краен брой. Тази е лелеената мечта на мислителите още от древността - световното многообразие да бъде сведено до няколко непротиворечащи си положения, които играят роля аналогична на Менделеевата таблица в химията. Парадоксът на Ръсел, че множеството от всички множества не съществува като множество, антиномията на Бурали-Форти и ред други парадокси, хвърлили сянка върху този мегапроект, били преодолени с йезуитски трикове от рода на това да се разглежда йерархия на вместилищата. Вместилището на всички множества не може да е множество от същия тип. То трябва да е множество от ред 2, което нарекли клас. Вместилището на всички класове не може да е клас. То трябва да е клас от ред 2, или все едно множество от ред 3 etc. По този начин цитираните парадокси били коренно отстранени чрез растеж на йерархиите. Тук не можем да не си припомним втория диалектически закон на Хегел, а именно този, че:

количествените натрупвания достигат едно критично количество, наричано мяра, след което раждат ново качество.

Точно този диалектически закон ни обяснява раждането на множествата с редове 1, 2, 3, ..., до безкрайност и отново ни припомня, че естествените числа, рожба на принципа за изключеното трето, са всъщност и продукт на диалектиката. Диалектиката, от своя страна, е една бинарност, в която двете противопоставени начала, т.е.

двете полярни противоположности - ин-ян, могат да се разглеждат в акт на вечна борба и единство -

първият закон на диалектиката, известен като закон за единство и борба на противоположностите, който Хегел заимствал от Хераклит и от древнокитайските мислители. Диалектиката е хитър опит да се преодолее вродената ограниченост на бинарността и да се представи тази бинарност като полиарност. Бедата на диалектиката е, обаче, в това, че тя не работи добре в полето на математиката, т.е. с нейна помощ е трудно да се получат съществено нови математически резултати. Тази диалектика е добра единствено за хитруване във философски спорове, но в науката не дава плодове. Така постепенно се стигнало до тернарните принципи, като изход от принципа за изключеното трето. Тези принципи основополагали три начала вместо две, които символично можем да означим с 0, 1 и 2. Числа, които съвпадат с остатъците при деление на 3. Така се родила идеята на Ян Лукашевич за тризначна логика, а оттам, което е съвсем близо до ума, и за многозначни логики. Следващата стъпка били безкрайнозначните логики. Това са все идеи от сравнително по-ново време - след 1900 година. Ала всичките тези логики са само екзотични експерименти на жаждата на човешкия ум да надрасне принципа за изключеното трето. В научно отношение те обладават една и съща степен на яловост - съществени резултати чрез тях така и не са постигнати.

       Вече споменахме, че класическият принцип на математическата индукция се съдържа в аксиоматиката на Пеано. Той позволява да се извършват по еднообразна схема доказателства на твърдения, до които сме се добрали под формата на хипотеза. Навремето учителят на малкия Гаус предложил на класа да бъде намерена сумата

1 + 2 + 3 +...+ 100.

Той бил убеден, че малките ученици ще затънат в мъчителни пресмятания, а през това време той ще си поблаженства. Какво било учудването му, обаче, когато миг по-късно Гаус сигнализирал, че е пресметнал сумата и че тя е равна на 5050. Остроумното дете съобразило, че сборът на равноотдалечените числа: 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98, etc, е един и същи - равен на 101. Броят на тези двойки числа е 100/2 = 50. Следователно общият им сбор е 101 х 50, т.е. 5050. Всъщност малкият Гаус преоткрил в този частен случай формулата за сбора на последователните членове на една аритметична прогресия, известна още на древните египтяни, а сигурно и преди тях. В главата на всеки, който види доказателството на Гаус, ще се мерне хипотезата, че:

за произволно n е в сила 1 + 2 + 3 +... + n = n(n +1) /2.

Той може да провери тази индукционна хипотеза при n = 1, 2, 3, etc и така да повярва, че тя е налице за всяко цяло положително число n. И така този откривател проверява, че 1 = 1.(1+1) / 2. Значи хипотезата му е вярна при n = 1. Сега откривателят е длъжен да провери, че:

ако хипотезата е вярна за някакво n, то от това следва верността й и за n+1.

Тоест той трябва да установи, че щом 1 + 2 + 3 +... + n = n(n +1) /2, то ще е изпълнено и 1 + 2 + 3 +... + n + (n+1) = (n+1) ((n +1)+1) /2. Това може да бъде установено без никаква изобретателност, като към двете страни на равенството

1 + 2 + 3 +... + n = n(n +1) /2

се прибави числото (n+1). Така нашият откривател ще достигне до равенството

1 + 2 + 3 +... + n + (n+1) = (n+1) + n(n +1) /2.

От друга страна целта му беше да установи равенството

1 + 2 + 3 +... + n + (n+1) = (n+1) ((n +1)+1) /2.

Съпоставяйки последните две равенства, нашият отривател ще заключи, че трябва и десните им страни да съвпадат. А тогава би трябвало да е вярно равенството

(n+1) + n(n +1) /2 = (n+1) ((n +1)+1) /2.

         Оставям на вас да проверите самостоятелно, че то наистина е в сила. В такъв случай от принципа на Пеано за математическата индукция следва, че равенството

1 + 2 + 3 +... + n = n(n +1) /2

е изпълнено за всяко цяло положително число n.

/следва продължение/