Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-2 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-3 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-4 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-5 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-6 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-7

           Всеки индивид има някаква интуитивна представа за бройност. Ще ми се да вярвам, че тя е зададена в нас априори от Висшата промисъл  на Креатора, а не е само резултат на даскалски манипулации в начални, средни и висши училища. Защото съм твърдо убеден, че всичко създадено от човешки ръце носи белега на трайното несъвършенство. Човекът е смъртен и жалък не само физически /например редовно напикаващият се в напреднала възраст Кант/. Той е смъртен и жалък, дори и в идеите си. И колкото и да превъзнасяме определени исторически личности, наричани гении, то те винаги отстъпват на костенурките, гарваните и орлите, а тяхната гениалност не е нищо повече освен наличност на нищожно малко количество фантазия повече в сравнение с тази на средностатистическия представител на хомо сапиенс. Христос е казал:

"ако имате вяра колкото синапово зърно, ще речете на тая планина: премести се от тука там, и тя ще се премести; и нищо няма да бъде за вас невъзможно." /Матей 17:20/

Но аз ви казвам, че същата мисъл важи много повече за фантазията, нежели за вярата. Едно синапово зрънце фантазия би ви направило могъщи, защото фантазията е истинската мярка за величието на мисълта, но уви, човеците си служат предимно със заместители на мисълта и всяко човешко същество е белязано със сянката  на инерциалността, както в житейски план,  така също и в мислите си. Препрочитайки написаното от Блез Паскал:

"Величието на човека е в мисълта!"

се усмихвам винаги тъжно, защото много повече би прилягала към Истината една друга мисъл, която споделям със стиснати зъби с вас тук:

"Величието на човека е в глупостта!"

          Но да се върнем към идеите на Кантор. С въведеното от него понятие мощност той всъщност поискал да пренесе човешкия наглед за бройност, формиран във въображението ни върху крайните множества, също и върху безкрайните.

"Поискал, а успял ли е?" -

сякаш още чувам в ушите си ехото от гласа на моята гимназиална преподавателка по български език, която често обичаше да смесва възвишени неща, като любовта между Данте и Беатриче, с въпроса за изгубените зимни ръкавици на своя немирен син. Не зная успял ли е Кантор, но надявам се вие да прецените сами това след прочитане на есето ми.

За Кантор две множества имат еднаква бройност точно когато съществува биективно съответствие между тях.

Както споменах по-горе, това означава, че:

две множества имат една и съща бройност, точно когато мощностите им, т.е. кардиналните им числа, съвпадат.

Ние видяхме докъде води този Канторов подход и доколко той е несъгласуван с интуицията ни, още когато отбелязахме, че:

броят /в смисъла, който влага Кантор/ на положителните дроби съвпада с броя на целите положителни числа.

Още по-парадоксално и скъсващо с интуицията ни, Кантор доказва, че:

броят на точките разположени в един куб е същият като този на точките разположени в произволен негов ръб.

Или, което е равносилно:

броят  на точките в кълбото е равен на броят на точките на произволно малка окръжност разположена върху сферата на това кълбо.

От идеята на Кантор за бройност на безкрайно множество следва лесно, че:

броят на точките в цялото тримерно пространство съвпада с броя на точките разположени върху произволно малка негова отсечка!

С други думи, с помощта на метода на биективното съответствие между две множества и с въведеното от него понятие за бройност, основана на мощност на множества /или все едно на кардиналните им числа/, Кантор се превърнал в един Хари Худини на своето време, вадейки нови и нови неизвестни породи птици от ръкавите на безкрайността.

Кардиналното му заключение било, че броят на точките в тримерното пространство, в равнината, върху правата, върху отсечката, е все един и същ и съвпада със "с" - мощността на континуума, което както вече видяхме е кардиналното число 2 на степен алеф нула, т.е. мощността на кулата на целите положителни числа.

Изумлението на съвременниците му от тези негови "открития" нямало граници и превърнало Кантор в своеобразен шаман на Теория на множествата. Колосалният математик Давид Хилберт /който леко изпреварил Айнщайн в депозирането на уравненията на неговата Обща теория на относителността/ възкликнал:

"Никой не може да ни изгони от Рая, който Кантор създаде за математиците в Теория на множествата."

Все пак не бива да се забравя, че:

"Пътят към Ада също е застлан с добри намерения!"

Да отбележим, че Кантор установил едно, по същество, чисто холограмно свойство на континуума:

Колкото и малки късчета от него да вземем, то те запазват бройността му!!!

Холограмите имат аналогичното свойство:

Всяка тяхна част продължава да съдържа информацията на изходното цяло!

Една от важните теореми на Кантор в математическата дисциплина, сега наричана Анализ, гласяла:

Ако вземем безкрайна редица от отсечки с намаляваща към 0 дължина, всяка следваща от които се съдържа в предходната, то съществува една единствена точка, която се съдържа във всяка от тези отсечки.

Тази теорема може да се превърне и в аксиома - всичко зависи от подхода ни към дисциплината Анализ. Но помнейки, че всяка от въпросните отсечки съдържа едно и също количество точки /съгласно Кантор/, а именно "c" на брой, то у нас възниква усещането за нещо парадоксално и необяснимо. А именно - къде и как изтича от разглежданите отсечки мощността на континуума "c",  за да се стигне до нищожната мощност 1 на едната единствена обща за всички тях точка? Спомням си, че точно този въпрос ми постави навремето един близък мой приятел и изключителен български теоретичен физик Анастас Анастасов /1934 - 2017/, който пръв в световната физика успя да извърши обединение на Теорията на относителността на Айнщайн с Квантовата механика в своя не получил признание у нас труд:

Теорията на относителността и кванта действие (4-атомизъм):

http://www.hralupa.com/index.php?act=viewProd&productId=2730

Наложи се да му отговарям с типичните увъртания от теорията на граничния преход, с които математиците често си служат, когато попаднат в трудна логическа ситуация. Но за себе си не останах удовлетворен от този  собствен отговор.

Безкрайностите крият сериозни парадокси.

Например броят на точките с цели координати, които съдържа едно кълбо с целочислен радиус, центрирано в началото на пространството е по-голям или равен на обема му.

А от една блестяща теорема на Фердинанд Рис, даваща топологичната характеристика на крайномерните пространства, по-наблюдателните от вас биха могли да извлекат уникалното следствие, че:

кълбетата в безкрайномерни пространства нямат вътрешност, т.е. са напълно мършави.

Това е истинската и дълбока причина обемите на кълбетата с радиус 1 намиращи се в n - мерно пространство да клонят към 0 с растенето на n.

Но това беше едно чисто лирическо отклонение на тема безкрайност.

/следва/