Материалът е продължение на:

https://otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah

https://otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-2

https://otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-3

Естествените числа, заедно с операциите събиране и умножение, представляват Аритметиката. Те са толкова важни, че големият математик Леополд Кронекер е казал за тях:

"Бог създаде естествените числа. Всичко останало бе дело на хората."

На свой ред кралят на математиката - Карл Фридрих Гаус, възкликва:

"Има много геометрии, но естествените числа са единствени!"

Въпреки безусловният авторитет на моите велики предшественици, изпитвам дълбоки съмнения в истинността на твърденията им. Причината е, че има и друг поглед върху естествените числа, при който не те генерират всички останали числа, а просто се явяват тяхно подмножество, вероятността да се натъкнем на което е равна на 0. Освен това, при този друг подход, естествените числа се явяват нещо като копие от безбройно много паралелни числови вселени. Тук не бих рискувал да навлизам в дълбочина по темата, тъй като тя е плод на съвместно изследване с мой близък и специалист по Теория на числата. И без това ви очакват други шокиращи разкрития. Първите такива поднася Курт Гьодел - математик с австрийски произход, работил в областта на математическата логика в Принстън. Когато Гьодел прави своите сензационни математически открития, геният на Давид Хилберт властвал над математиката на 20 век и методично, и последователно, изграждал едно свое искрено заблуждение, което не без помощта на други мастити учени, успял да наложи на математическата общност. Това заблуждение се състояло в това, че Хилберт твърдо вярвал, че математиката е една величествена сграда, основите на която са здрави и непоклатими от логическа гледна точка. С други думи Хилберт бил готов да се обзаложи с всеки, че математиката е логически непротиворечива. Неговата вяра разбира се се базирала на принципа за изключеното трето. Хилберт нито за миг не допуснал мисълта, че непротиворечивостта на математиката е нещо толкова неясно и недоказуемо, колкото и самият живот. Но всъщност именно такава е горчивата истина. Точно основите на гордата сграда, наречена математика тънат в непреодолима неяснота! И причина за това е точно принципът за изключеното трето.

И все пак къде точно е бърлогата на неяснотата?

Това е дяволски интересен въпрос, който получил дяволски интересен отговор!

Оказва се, че сърцевина на неясотата в математиката са точно отредените ни от Бог, съгласно Кронекер, "неизбежни" естествени числа. А още по-прецизно казано - иманентна част на неяснотата са аксиомите на Пеано!

Предполагам колко голямо е било разочарованието на Хилберт от самия него, след като узнал за резултатите на Гьодел. Това трябва да ни припомни мисълта на Бенджамин Франклин:

"Не приемайте живота /математиката/ твърде насериозно - никой не се е измъкнал жив от него /от нея/!"

Гьодел решил да се занимава със съдържателни логически теории. Той считал за съдържателни онези теории, които почивали върху аксиоми, част от които били аксиомите на Пеано. Тук е мястото дълбоко да се замислим, защото именно аксиомите на Пеано въвеждат за пръв път безкрайността и то най-малката по големина безкрайност - онази, чийто елементи можем да изброяваме чрез: 1-ви, 2-ри, 3-ти и т.н., както постъпвал войникът на маршал Суворов, комуто той заповядал да преброи звездите. Казано другояче:

всяка безкрайност е заразена с логическа неяснота. И самата тя /на свой ред/ заразява със своята неяснота съдържателните логически теории!

Гьодел установил два епохални по важност резултата. Първият от тях гласял, че:

Непротиворечивостта на една съдържателна логическа теория не може да бъде доказана със средствата на същата тази теория /първа теорема на Гьодел/.

Под непротиворечивост на теорията Гьодел разбирал следното:

Теорията да не съдържа твърдение Т, което е едновременно вярно със своето логическо отрицание неТ.

А това е точно принципът за изключеното трето!

Значи непротиворечивостта на аксиоматиката на Пеано не може да бъде доказана със средствата на същата тази аксиоматика!

Това било първото следствие от теоремата на Гьодел. То блестящо се потвърдило, след като Генцен изобретателно доказал непротиворечивостта на Аритметиката, но с по-силна аксиоматика от тази на Пеано.

Тази първа теорема на Гьодел сякаш доказва съществуването на Бог. Защото ако Т1 е съдържателна аксиоматика, то нейната непротиворечивост може да се установи само в рамките на подходяща и съдържаща я изцяло аксиоматика Т2, непротиворечивостта на Т2 може да се установи само чрез по-широка от нея аксиоматика Т3 и т.н. Образува се безкрайна растяща редица от аксиоматики /подобно на руски кукли вложени една в друга/,  в дъното на която лежи Бог, който единствен може да установи непротиворечивостта на всеки член от редицата!

Вторият епохален резултат на Гьодел е, че:

Ако една съдържателна логическа теория е непротиворечива, то тя е НЕПЪЛНА!

НЕПЪЛНА тук означава, че тази теория съдържа твърдения верността на които е неизводима със средствата на самата теория!

Другояче казано, теорията съдържа някои верни твърдения, но недоказуеми с нейните средства. Парадоксално, нали?! Ако теорията оприличим на сирене, а тези твърдения на дупки /кухини/, то те превръщат това сирене в швейцарско! Един интересен въпрос е какъв процент са тези твърдения-дупки от общия брой на твърденията в една такава теория. Не ми е известно някой да е отговорил на този въпрос, но лично на мен ми се струва, че техният брой винаги превишава 50 %. Ние можем да вземем едно такова твърдение-дупка и да го обявим за аксиома, с която попълваме изходните аксиоми на теорията. По този начин ще получим нова логическа теория, обемаща изходната. Така попълнихме дупката, но в новата теория, подобно на декубитална рана, ще възникнат нови дупки нуждаещи се от попълване. Ако вместо твърдението-дупка вземем неговото логическо отрицание и го обявим за аксиома, то ще възникне друга теория обемаща изходната. Така всяко твърдение-дупка поражда две нови и непресичащи се теории /подобно на Кантовите антиномии/. Тези антиномийни логически раширения на изходната теория ситуационно ни напомнят на случая с евклидовата и неевклидовата геометрии. Те се размножават на чисто бинарен принцип и съгласно принципа за изключеното трето!!!

 /следва продължение/