Мит ли е безкрайността?

          Още от ранно детство ние се сблъскваме с думата безкрайност, както и с евентуалните й синоними - необятност, безбройност, безбрежност и пр.  Всички те поставят на изпитание границите на нашата фантазия до такава степен, че отказваме да мислим по въпроса и предпочитаме да приемем  съществуването на феномена, означаван с кой да е от тези всъщност еквивалентни термини. Едно от най големите престъпления на математиката е, че аксиоматично предпоставя съществуването на този феномен, вплитайки го в наивната идея за т.нар. естествени числа, или другояче казано - целите положителни числа. Основите на това безумие полага през 1889г. италианският математик Джузепе Пеано, който пръв изгражда аксиоматиката на тези първични числа, дарявайки ни с т.нар. принцип на математическата индукция. Да не забравяме, че още в дълбока древност Лао Дзъ казва:

"Дао ражда 1. 1 ражда 2. 2 ражда 3. 3 ражда мириадите неща."

Според големият китайски мислител Дао е нещо неназовимо - битие предшестващо битието, но все още лежащо между него и небитието. Наречено форма на безформеното, дао поражда всички форми и всяка конкретика, но ще бъде погрешно да си мислим, че то е всъщност търсеният в ЦЕРН хигсбозон, поетично наречен от Леон Ледерман частицата-бог. Всъщност този бозон, предсказан теоретично от Питър Хигс,  ако съществува, е само едно неуловимо паяче, което изприда нишките на материята,  тъй майсторски както митичната Арахна.

Съгласно принципа за индукцията, числото 1 съществува. А ако съществува цялото положително число n, то съществува и числото n+1 и то също е цяло.

На пръв поглед няма нищо по-естествено от подобна идея и тя е била възприета още от най-древните мислители, а твърдението, че не съществува най-голямо цяло положително число е съдържанието на т.нар. аксиома на Архимед. Леополд Кронекер отива още по-далеч и възкликва, че:

целите положителни числа са дадени от Бог, а всички останали се получават от тях като чисто човешко творение.

Кралят на математиката - Карл Фридрих Гаус, затвърждава това мнение, авторитетно добавяйки, че:

геометриите са безбройно много, но целите положителни числа са единствени!

           Целите положителни числа, заедно с добре известните ни операции събиране, изваждане и умножение , са именно онова, което се нарича аритметика.  Върху аритметиката можем да надстрояваме всякакви логически теории, но тя е ПЪРВООСНОВАТА - етажът разположен на кота нула. 

           Съществуват ли и отрицателни етажи? Този интересен и нетривиален въпрос, ще е обект на друго есе по темата. Но тук искам да ви обърна внимание на важния въпрос за непротеворечивостта на аритметиката. Защото ако тя съдържа противоречие, то би се просмукало във всички етажи,  стоящи над нея. А противоречие е наличието на твърдение в аритметиката, което би било едновременно и вярно и невярно.

Това е като съпруга, която хем ни е вярна, хем ни изневерява.

Никой не би желал да има в дома си подобна съпруга. Освен ако не страда от хронично раздвоение на личността.

            През 1936г. немският математик Герхард Генцен успява да докаже непротиворечивостта на аритметиката. Уви, не със средствата на самата аритметика. Генцен прибегнал до услугите на т.нар. трансфинитна индукция, за да установи, че принципа на математическа индукция на Пеано не води до противоречие. Това е все едно да използвате техниката на строителство на небостъргач, за да докажете, че обикновената кирпичена колиба е построима. Но нищо по-добро от Генценовото доказателство за непротиворечивост на аритметиката не е измислено и до ден-днешен. Въодушевен и главозамаян от това си откритие, година след него, Генцен става член на Хитлеровата националистическа партия, вероятно ръководен от мисълта за по-голяма сигурност и научна кариера. Но това било фатална грешка. През май 1945г. Генцен е предаден на руснаците и завършва живота си през август същата година в съветски концентрационен лагер, умирайки от глад.

/следва/