Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta ;

https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-2 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-3 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-4

          А сега се дръжте на крака, за да не паднете, защото следва изненада от голям калибър. Дефиницията на целите положителни числа, в основата на която лежат аксиомите на Пеано, /сиреч принципът за математическата индукция/ по никакъв начин не указва дали ако към едно крайно цяло положително число n прибавим числото 1, то отново получаваме крайно число. Тези аксиоми ни гарантират единствено, че числото n+1 e също цяло и положително. Аз самият останах удивен, узнавайки за този "пропуск". Същевременно сърцето ми се изпълни с радост, че в аритметиката именно по този загадъчен начин е оставена тайнствена вратичка за промъкване и на цели безкрайни числа. Защо да не допуснем, че броейки последователно: 1, 2, 3, ..., все някога ще стигнем до някакво много голямо крайно число N, такова че числото N+1 да се окаже вече безкрайно. Мой познат и мислител /името му е Бойко Калчев/, се опита да изгради такава теория на целите положителни числа. В неговата хипотетична теория числото N+1 е като диод - едновременно крайно и безкрайно!!! Това число е като тъмен тунел, в единия вход /левият/ на който влиза крайното цяло положително число N, излизайки от десния край на тунела преоблечено като безкрайно цяло положително число. Странно свойство, напомнящо на диполите /такава е диполната молекула на водата - издължена и в единия си край отрицателно заредена, а в другия положително заредена/. Докато числата N+2, N+3, N+4 etc са вече чисто безкрайни цели положителни числа. Калчев стигна още по-далеч в своите парадоксални разсъждения. Оказва се, че в неговия модел числото N+1 е всъщност празното множество. Шокиращо разкритие, донякъде в унисон с концепциите на будизма. Сериозен недостатък на модела Калчев е, обаче, че той се основава на диалектика - цялото положително число N+1 е едновременно и крайно, и безкрайно!  Тук съвсем основателно следва да запитате: а що е това крайно число? Въпросът е справедлив и навременен. Убеден съм, че болшинството от вас свободно употребяват термина "крайно", без да са уточнили съдържанието му. Но има един покоен математик, който по право може да бъде наречен Идеолог на безкрайността. Той се казва Георг Кантор. В дивата пустиня на безкрайното той прокарва истински жп път. Съумява да изгради стройна йерархична система на безкрайните светове. След неговата смърт, през 1918г., в чисто идеологически план, нищо ново в това направление не е добавено. Кантор си служи с метода на биективното съответствие между елементите на две множества.

Биективно съответствие между две множества А и B е такова правило /закон/, което на всеки елемент от множеството А съпоставя елемент от множеството B. При това на различни елементи на А са съпоставени различни  елементи на B. Има и допълнително изискване - за всеки елемент на B да има елемент на А,  който му е съпоставен чрез същото правило.

       Понякога биективното съответствие се нарича биекция, а също взаимно еднозначно съответствие или едно-еднозначно съответствие.  Ако съществува поне едно биективно съответствие между две множества, то тези множества се наричат равномощни.

Понятието мощност на множество е въведено за пръв път от Кантор. Употребява се още и терминът кардинално число на множеството. Мощността на крайните множества е всъщност броя на техните елементи.

Предполагам, че вече сте съобразили тривиалния факт, че ако имате две крайни множества с различен брой елементи, то никакво биективно съответствие между тях не съществува. Следователно каквото и да е крайното множество, то не може да съществува биективно съответствие между него и едно строго съдържащо се в него множество. Точно това свойство ни дава ключ към желаната дефиниция:

Едно множество се нарича крайно, точно когато не съществува биективно съответствие между него и която и да е негова същинска част.

От горното определение произтича и следното:

Едно число се нарича крайно, ако то е кардинално число на крайно множество.

Дотук добре. Вече сме готови да кажем що е това безкрайно множество /а оттам и що е това безкрайно кардинално число/. Ами много просто - логическото отрицание на понятието крайно множество. Казано другояче, едно множество е безкрайно, точно когато то не е крайно.

Съгласно дадената по-горе дефиниция за крайно множество, ние виждаме, че:

едно множество е безкрайно точно когато съществува биективно съответствие между него и същинска негова част!

Типичен пример е множеството на целите положителни числа: 1, 2, 3, 4, .... Крайно или безкрайно е то? Вече чувам как възкликвате - очевидно безкрайно! Но все пак се нуждаем от строго доказателство. А то е следното. Вземаме множеството на всички четни положителни числа: 2, 4, 6, 8, .... То очевидно е същинска част на горното множество. Остава само да ви посоча едно биективно съответствие. Ами просто съпоставете на елемента n /от първото множество/ елемента 2n от второто множество . Това съответствие е очевидно биективно и значи множеството на всички цели положителни числа е пример за едно безкрайно множество. Неговата мощност, т.е. неговото кардинално число, се нарича алеф нула. Това е и най-малкото безкрайно кардинално число.  Всички безкрайни кардинални числа са наречени алефи. Именно те формират и контролират йерархията на безкрайностите!

/следва/