В този материал ще стане дума за това как да познаем дали едно цяло число се дели на друго цяло число, което е нечетно и не окончава на 5, без да осъществяваме процеса на деление. При това можем да считаме тези две числа за положителни и това няма ни най-малко да намали общността на казаното. Още от училищната скамейка са ни учили, че:

едно цяло положително число се дели на 3, точно когато сборът от цифрите му се дели на 3.

Убеден съм, че този признак за делимост на 3 не е забравен от никого. Същият признак работи и за делимост на 9, тоест:

едно число се дели на 9 точно когато сборът от цифрите му се дели на 9. 

А имаме ли и признак за делимост на 11 /ще възкликнат някои по-любознателни читатели/? Да имаме. Достатъчно е да съберете цифрите на числото, стоящи на нечетна позиция /отляво надясно/ и от сбора им да извадите сборът от цифрите, стоящи на четна позиция. И ако тази разлика се дели на 11, то това ви гарантира делимост на 11 на изходното число. В противен случай това число не се дели на 11.
Любознателните читатели ще се запитат, защо пропуснахме числото 7 - едно твърде важно и бих казал магическо число. Как да познаем дали едно зададено число се дели на 7, или на 13, или на 19, или на 21 etc. ? Не избързвайте, драги читатели. Само малко търпение и ще узнаете отговорите на тези важни въпроси.

          И така, нека имаме едно предварително избрано цяло положително число N и едно друго положително нечетно число К, което не окончава на цифрата 5. Вие се нуждаете от признак за делимост на числото К. Тоест от просто правило, чрез което да узнаете дали N се дели на К, без да извършвате никакви деления. Извадихте късмет, защото точно аз съм този, който ще ви даде този важен признак, който не се учи нито в училища, нито в университети. За целта ще въведа едно цяло число Х, което е неразривно свързано с числото К. Ще наричам Х ключово число за К. Числото Х ще бъде най-малкото по абсолютна стойност цяло число, за което числото 10.Х - 1 се дели на К. Ще дам няколко прости примера, за да разберете как при зададено К вие сравнително лесно /например чрез налучкване/ можете да отгатнете ключовото число Х.

Нека най-напред К=3, или К=9. Тогава очевидно Х=1, защото 10.Х - 1 = 10.1 - 1 = 9, а числото 9 се дели както на 3, така и на 9.

Нека сега К=7. Тогава Х= -2, защото имаме 10.Х - 1 = 10.(-2) - 1 = -21, а числото -21 се дели на 7.

Нека К=11. Тогава Х= -1, защото 10.Х - 1 = 10. (-1) - 1 = -11, а очевидно -11 се дели на 11.

Нека К = 13. Тогава Х=4, защото 10.Х - 1 = 10.4 - 1 = 39, а 39 се дели на 13.

Нека К=17. Тогава Х= -5, защото 10.Х - 1 = 10.(-5) - 1 = -51, а -51 се дели на 17.

Нека К=19. Тогава Х=2, защото 10.Х - 1 = 10.2 - 1 = 19, а 19 се дели на 19.

Нека К=21. Тогава Х= -2, защото 10.Х - 1 = 10.(-2) - 1 = -21, а -21 се дели на 21.

Оставям на вас самите да определите ключовото число Х за всяко едно от числата: 23, 27, 29, а ако поискате и по-нататък, докъдето не ви омръзне.

          И така след като вече сме определили ключовото число Х за числото К, признакът за делимост на К може лесно да бъде формулиран.

          Нека да проверим дали числото N се дели на К. Постъпваме така. Нека A е последната цифра на N. Мислено зачеркваме тази последна цифра А в N. Така се получава ново число. Към него добавяме числото A.X. Новополученото число означаваме с N₁. Нека последната цифра на N₁ e A₁. С числото N₁ постъпваме аналогично. Зачеркваме мислено последната му цифра и към така полученото число добавяме числото A₁.Х. Ще получим ново число, което означаваме с N₂. С числото N₂ постъпваме аналогично etc. Всяко следващо число има брой цифри с 1 по-малък от броя на цифрите на предходното. Движейки се по указания начин, най-накрая ще достигнем до число N_t броят на цифрите на което е равен на този на К. Нашият критерий гласи:

Изходното число N се дели на К точно когато числото N_t се дели на К.

Ето ви два онагледяващи примера:

1. Да проверим дали N=1553 се дели на 7. Използваме, че за К=7 ключовото число е Х= -2. Зачеркваме мислено последната цифра A=3 на N и получаваме числото 155. Към него прибавяме числото A.X = 3.(-2) = -6. Получаваме 155 + (-6) = 149 и полагаме N₁ = 149. Последната цифра на N₁ е A₁ = 9. Зачеркваме тази цифра мислено в 149 и получаваме числото 14. Към 14 прибавяме числото A₁.X = 9.(-2) = -18. Получаваме 14 + (-18) = -4. Числото -4 означаваме с N₂. Очевидно N₂ не се дели на 7. Следователно и числото 1553 не се дели на 7.

2. Да проверим дали числото  N=4389 се дели на 19. Използваме, че за К=19 ключовото число е Х=2. Зачеркваме мислено последната цифра А=9 на N и получаваме числото 438. Към него прибавяме числото A.X = 9.2 = 18. Получаваме 438 + 18 = 456 и полагаме N₁=456. Последната цифра на N₁ e A₁= 6. Зачеркваме тази цифра мислено в 456 и получаваме числото 45. Към него прибавяме числото A₁.X = 6.2 = 12 и получаваме N₂ = 57. Още тук съобразяваме, че N₂ се дели на 19 и следователно числото 4389 се дели на 19. Но можем да завършим и с още по-ефектен ход. Зачеркваме в N₂ последната цифра A₂=7. Получаваме числото 5. Към него прибавяме числото A₂.X = 7.2 = 14 и получаваме N₃ = 5 + 14 = 19. Тъй като N₃ = 19, то N₃ очевидно се дели на 19, а значи и N = 4389 се дели на 19.

          Целта на горните два примера бе една числена илюстрация на признаците за делимост на числата 7 и 19.

         Следва да отбележа и факта, че описаният признак за делимост на числото К е доказан съвсем строго. Но това строго доказателство е за специалисти по Теория на числата и въпреки че е дяволски интересно, не бих рискувал да го привеждам тук, за да не бъда упрекван в издевателство. Моята скромна цел бе да попълня колекцията ви от признаци за делимост с безкрайно много нови такива и мисля, че се справих според възможностите си. Но ви съветвам да се поупражните и сами върху изложеното от мен. На добър час!

Бел. на автора.

1. Възможно е за определени числа К да са налице и други признаци за делимост на К. Целта на материала е да обхване всички К, подчинени на наложените от автора условия. Ключовото число Х играе ролята на обратен елемент в пръстена Z_K. Съществуват различни техники за пресмятането му дори за абстрактна буква К.  Но не можех да си позволя подобна степен на строгост и абстрактност в условията на един неспециализиран в областта на математиката сайт, какъвто е Откровения.

2. Нека К е нечетно число, окончаващо на 5. Тогава ще се намери такова цяло положително число s, за което имаме К = K₁.5^s , където числото К₁  вече не окончава на 5. Ако N не се дели на числото 5^s, то очевидно N не се дели на К. Ако N се дели на 5^s, то N ще се дели на К, точно когато N се дели на К₁ и тук вече прилагаме нашият критерий за делимост от есето.

3. Нека К е четно число. Тогава ще се намери такова цяло положително число m, че К=К₁.2^m, където К₁ е нечетно число. Ако N не се дели на числото 2^m, то очевидно N не се дели на К. Ако N се дели на 2^m, то N се дели на К, точно когато N се дели на К_1. И тук преминаваме към случая описан в точка 2 /от Бел. на автора/. Ще отбележим също, че определянето на числото m може лесно да се извърши чрез критерия за делимост на 4, който гласи, че едно число се дели на 4, точно когато числото образувано от последните му две цифри се дели на 4.