За крайното и за безкрайността
Много съм писал по тази тема, при това в достъпна форма за неизкушения от материята читател. Но един автор трябва да профанизира, за да изложи нещата с друг - по-елементарен език. А това води до вътрешното му неудовлетворение и желание да опита отново.
И така, уважаеми читатели, ние с вас често смело и безрасъдно оперираме с термини като крайно и безкрайно, все едно, че сме наясно с тяхното съдържание. Дори понятието крайно ни изглежда по-близко и по-разбираемо от безкрайността, а истината е, че то е не по-малка енигма. Ще кажете, всеки има вътрешно усещане за крайното, т.е подразбира го по интуиция. Но как строго да изложим нещата. Тук незабавно се сблъскваме със следната парадоксална теорема.
ТЕОРЕМА (Мисана). Както и да дефинираме понятието доказателство, то ще съществува теорема, която не може да бъде доказана.
Аз няма да ви отегчавам с доказателството на това иначе любопитно твърдение. Само ще отбележа, че от него следват двете знаменити теореми на Курт Гьодел в логиката. Още по-интересно е, че формулираната по-горе теорема ви води до следствието, че веднъж фиксирали дефиницията на понятието доказателство, то заприличва на рибарска мрежа, в която улавяте доказуеми теореми, но през ситните дупчици на мрежата изпадат теоремите, които са недоказуеми и които като брой /каквото и да означава думата брой/ многократно превъзхождат доказуемите. Парадоксална ситуация, свидетелстваща за безсилието ни строго да доказваме всичко, което бихме желали.
Но има още един път към понятията крайно и безкрайно - Мистичният! Това означава смътно, като през мъгла, да съзерцаваме тези две противоположни същности и да медитираме върху тях. И все пак по какво се различават те? Ще ви предложа различни гледни точки за характеризация на крайното.
Първата от тях гласи: Частите на крайното са също крайни.
Макар че и тук мнозина от вас могат да протестират:
А нима не е възможно да имаме безкрайни части на крайното и съчленявайки ги до цяло в това цяло безкрайностите да се погасяват?
Лично аз допускам подобна възможност, но при нея губим възможността да дефинираме крайното, като нещо предхождащо безкрайното. Затова ви предлагам да се лишим умишлено от тази парадоксална възможност. И така нека приемем, че:
Частите на крайното също са крайни!
Това ни подсказва, обаче, да разглеждаме части на частите - части от втори ред. После части на частите от втори ред - части от трети ред.
Продължавайки този процес индуктивно, ще стигнем до части от произволен ред - все още крайни.
Докога, обаче, може да продължи този процес - на ОЧАСТЯВАНЕ? Разумно ли е да считаме, че понякога той продължава неограничено или винаги следва да е краен. Лично аз предлагам да се ограничим само с втората възможност, макар и да не разполагам с логически довод за отхвърлянето на първата. Така, че да приемем и
аксиомата: Процесът на ОЧАСТЯВАНЕ на крайното е КРАЕН.
Но още тук ни лъхва миризмата на нещо гнило /"Има нещо гнило в Дания"/. Налице е своеобразна тавтология - дефинираме крайното чрез краен процес. За жалост тази тавтология е логически неизбежна и е изцяло плод на процеса, който избрахме. Можем да прецизираме нещата още, за да поуспокоим топката и избегнем нарастващото в нас безпокойство:
Крайното се характеризира с това, че всяка негова част има по-малък брой части!
Това вече изглежда разумна дефиниция. Можем да се гордеем с вас, че заедно достигнахме до нея.
А БЕЗКРАЙНОТО - какво характеристично свойство има то?
Вече чувам вика ви Еврика: Някои части на безкрайното приличат на самото него /При крайното никоя негова част не може да прилича на него/. По точно:
Безкрайното има части, които взаимно и еднозначно му съответстват.
И точно тази негова характеристика го отличава от крайното.
Има още един подход за различаване на крайното от безкрайното. Той е лично мой и изглежда смислен.
Представете си, че на един плаж има нещо, за което вие не знаете дали е крайно или безкрайно. Например хотелска верига. Качете се на моторна лодка и започнете да навлизате навътре в морето. Отдалечавайки се, ще видите как обектът на плажа се смалява и в определен момент заприличва на точка. Това се случва само ако изходният обект е краен. Когато този обект е безкраен, той не може да се смали до точка.
Следователно разстоянието е блестящ критерий за отсяване на крайното от безкрайното.
П.П. Това есе има кореспонденция с есето ми:
https://otkrovenia.com/bg/eseta/syshtestvuva-li-syshtestvuvaneto
¿Quieres leer más?
Únete a nuestra comunidad para obtener acceso completo a todas las obras y funciones.
© Младен Мисана Todos los derechos reservados ✍️ Sin IA
