Материалът е продължение на:

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-2

otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-3

https://otkrovenia.com/bg/eseta/pyrvorodniyat-gryah-4

Мнножеството на естествените числа придобива особена роля след като на световната математическа сцена дебаркира Георг Кантор /1845 - 1918/, математикът променил изцяло облика на Теорията на множествата и на цялата математика. Кантор бил първият сериозен изследовател на безкрайността. Преди неговата поява

безкрайността се възприемала само като отрицание на всичко, което е крайно.

А това било нещо аморфно и твърде мъгляво. Всеки от нас е долавял голямото си вътрешно безсилие, мислейки за безкрайността. Убеден съм, че обикновеният човек отхвърля идеята за съществуване на безкрайността като глупава и абсурдна. Обикновеният човек вярва, че съществуват огромни неща, които поради невъзможността да обхванем със сетивата си, ние обявяваме за безкрайни. Кантор поел точно по обратния път.

Той постулирал съществуването на безкрайността и с нейна помощ дефинирал всичко що е крайно.

Но най-възхитителното у Кантор е дързостта му да опише структурно и класифицира безкрайностите от множествена гледна точка. Така той създал учение за Йерархия на безкрайностите с претенцията, че тази йерархия е надлежно описана от него. Той създал нещо като Менделеева таблица, но не за химичните елементи, а за безкрайностите. Отново повтарям - не съществува по дързък ум от Канторовия в световната история. Всичките си открития за безкрайностите Кантор извършил само с най-обикновени логически разсъждения, напълно посилни и за древногръцките философи. Но Кантор допуснал същата грешка като великите си предшественици - опрял се на принципа за изключеното трето.

Кантор тръгнал от естествените числа - основа на всичките му разсъждения. Тези числа са безбройно много, просто  защото броенето им няма свършек: 1-во, 2-ро, 3-то, 4-то, 5-то и т.н. Броим до свършека на времената, или както се изразява Айзак Азимов в романа си "Краят на вечността": Докато

настъпи краят на Вечността и началото на Безкрайността".

Кантор забелязал, че в безкрайната редица на четните числа: 2, 4, 6, 8, 10,..., има точно толкова на брой числа колкото и в редицата: 1, 2, 3, 4, 5,..., на всички естествени числа. Как ще възкликнете вие? Ами много просто, ще ви отговоря: 2 е 1-во число, 4 е 2-ро число, 6 е 3-то число и т.н. Броенето е същото като при естествените числа. Това била гледната точка на Кантор. Излиза, че каквато и безкрайна редица от числа да си вземем /например тази на нечетните числа/ можем да я броим по същия начин.

Значи всяка безкрайна редица, заключил Кантор, има един и същи /разбира се безкраен/ брой елементи.

Той нарекъл този безкраен брой Алеф 0.

Алеф 0 се оказало най-малкото безкрайно число.

Ала всеки от вас вече е забелязал един съвсем очебиен парадокс:

Множеството на четните числа е част от множеството на всички цели положителни числа.

Кантор с радост приел и прегърнал този парадокс, че:

при безкрайните множества може цялото множество и една негова част да имат един и същи брой елементи.

Приел го, защото му вършел отлична работа. Точно този парадокс позволил на Кантор да каже съвсем строго що е това крайно множество. Според Кантор

крайното множество е такова множество, което не притежава част имаща същия брой елементи като самото множество.

Така Кантор успял да дефинира крайното чрез безкрайното! Изисква се наистина крайно необичайно мислене, за подобна гледна точка. По-нататък Кантор се заел с множеството на всички положителни дроби. На пръв поглед те не могат да се наредят в една безкрайна редица, а се състоят от безбройно много безкрайни редици. Първата от тях се състои от дробите със знаменател 1. Това е редицата на естествените числа. Втората е редицата от дроби със знаменател 2. Третата е редицата от дроби със знаменател 3 и т.н. Вижте долната безкрайна таблица, която съдържа всички положителни дроби:

1/1       2/1      3/1      4/1      5/1       6/1        7/1        8/1 .  .  .

1/2       2/2      3/2      4/2      5/2       6/2        7/2        8/2 .  .  .

1/3       2/3      3/3      4/3      5/3       6/3        7/3        8/3 .  .  .

.

.

.

Броят на членовете на всяка от цитираните редици лежащи в таблицата е един и същ: Алеф 0. Но щом като редиците са безбройно много, за да намерим броя на всички дроби /т.е. на всички елементи на таблицата/ се налага да съберем безбройно много пъти Алеф 0. А какво ще получим тогава в резултат е пълна загадка. На пръв поглед преброяването на дробите от таблицата изглежда невъзможно. Но хитрият Кантор намерил блестящо решение на загадката. С ловък маньовър, който всеки от вас може също да открие, ако понапрегне малко сивите си клетчици,

Кантор успял да нареди числата от таблицата в една единствена безкрайна редица. Така той доказал, че броят на дробите е също Алеф 0.

Едно възхитително откритие. Как да не си спомним тук за древните питагорейци. Те наивно вярвали, че други числа освен дробите не съществуват. Съгласно питагорейската концепция, в основата на света лежал феноменът на числото, т.е. на дробите.

Питагорейците с ловкостта на илюзионисти се опитали да сведат световната хармония до хармонията на числата,  т.е. до закономерностите при дробите.

Следвайки този път те преуспели в изучаване на музикалната хармония. Но само по една единствена причина - че музикалните тонове наистина са представими чрез дроби: тонове, полутонове, четвърттонове и т.н. Тези успехи в музиката съвсем затвърдили вярата им, че правилно описват света. Всичко вървяло много добре,  докато в един злощастен ден прилежен ученик на питагорейската школа открил, че числото √2  не е дроб. Откривателят бил набързо удавен, за да не разгласи опасната тайна. Хармонията на света се оказала много по-богата и сложна от хармонията на дробите. Но да се върнем към не по-малко опасните идеи на Георг Кантор.

Той се опитал да докаже, че не само дробите, но и всички числа от безкрайната числова права /точките от абцисната ос/ могат да бъдат наредени в една безкрайна редица.

Но тук изобретателният му ум ударил на камък. Оказало се, че да се докаже това е невъзможно.

Броят на тези числа, които днес наричаме реални, се оказал по-голямо безкрайно число от Алеф 0. Кантор го нарекъл число на континуума.

Днес то се означава със с - като скоростта на светлината във вакуум. Въпросът, който преследвал Канторовото въображение бил дали с съвпада със следващото по големина след Алеф 0 безкрайно голямо число, което би следвало да означим с Алеф 1, т.е. дали e налице равенството:

                                                         Алеф 1 = c

Това е една коварна хипотеза, днес наричана Континуум хипотеза. Кантор напрегнал цялата си интелектуална мощ, за да успее да я докаже.

Той твърдо вярвал, че Континум хипотезата трябва да е вярна.

Стремежът на Кантор да докаже континуум хипотезата не бил детска прищявка или фанатична фикс идея. Работата е в това, че Кантор установил, че е налице равенството

                                               с  = 2 на степен Алеф 0.

Неговата генерална хипотеза гласяла, че:

безкрайните числа: Алеф 0, Алеф 1, Алеф 2 и т.н. ,съвпадат със следната редица от безкрайно големи числа:

Алеф 0, 2 на степен Алеф 0, 2 на степен 2 на степен Алеф 0, 2 на степен 2 на степен 2 на степен Алеф 0 и т.н.

Така именно си представял Кантор Йерархията на безкрайностите. Но тази Йерархия е всъщност Божията тайна - непристъпна за всеки човешки ум, дори и за най-изобретателният. Огромното психическо усилие, на което Георг Кантор се самоподложил го довело до психиатрията в Хале, където ученият починал, неразгадал сакралната Тайна на тайните. Оказало се, че

Континум хипотезата е пример на твърдение-дупка от Гьоделевата теорема,

за която вече ви разказах. Следователно верността на тази хипотеза е недоказуема не само в аксиоматиката на Пеано, но дори и в една значително по-богата аксиоматика от нея, известна като аксиоматиката ZFC. Това било доказано от Пол Коен през 1963г. Принципът за изключеното трето нанесъл саблен удар на Кантор, оказал се смъртоносен за него, както и за неговата Йерархия на безкрайностите! Безкрайностите ревниво опазили голямата си тайна от човешките умове.

/следва продължение/