Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-2 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-3 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-4 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-5 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-6

       Кула (Power set) на едно множество се нарича множеството състоящо се от всички негови подмножества /включително и празното множество/.

Когато изходното множество е безкрайно и неизброимо, неговата кула е трудно мислима. Припомняйки си ситуацията с парадокса на Ръсел, e близко до ума, че съществуването на кулата на такова множество отникъде не следва,  тъй като не е ясно дали тя въобще е множество. Ето защо нейното съществуване като множество се постулира чрез специална аксиома в Теория на множествата  - т.нар. Рower set axiom.

Лесно се съобразява, че кулата на множество, състоящо се от n на брой елементи , съществува и съдържа точно две на степен n на брой елемента. Например кулата на множеството, състоящо се от трите елемента: a, b, c, се състои от празното множество; от множествата съдържащи поотделно елементите а, b, c;  от множествата съдържащи двойките елементи: (a,b), (a,c), (b,c); и от самото изходно множество. А това прави точно 2 на степен 3, т.е. 8 на брой елемента.

Тъй като 2 на степен n е по-голямо от числото n, то кулите на крайните множества са винаги по-мощни от тези множества.

На езика на кардиналните числа, към който се опитвам да ви приуча, това означава, че кардиналното число на кулата на едно крайно множество е винаги по-голяма от кардиналното число на това множество.

Но дали същото неравенство остава валидно винаги и за кулите на безкрайните множества? /По аналогия с крайните множества, Кантор записвал кардиналното число на кулата на едно безкрайно множество А с 2 на степен кардиналното число на А./

Така поставеният въпрос не допуска тривиална обосновка на отговора си. По тази причина Кантор започнал с множеството N на всички цели положителни числа, чиято мощност /т.е. чието кардинално число/ означихме с алеф нула. Той с лекота установил, че мощността на кунтинуума /която заедно с вас означихме със с/ е  равна на 2 на степен алеф нула.

Но, ако си спомняте кардиналното число с е по-голямо от алеф нула. Откъдето Кантор, с чувство на удовлетворение заключил, че кулата на N е по-мощна от самото N.

Ще избързам да ви издам една малка, но съществена тайна. А тя е, че:

ако А е безкрайно множество, то множеството състоящо се от всички крайни подмножества на А има мощността на А.

Последният факт означава всъщност, че ако кулата на едно безкрайно множество е по-мощна от самото множество, то разликата в мощностите се дължи единствено на безкрайните елементи на кулата!

Доказателството, което Кантор дава на твърдението си, че:

всяка кула е по-мощна от пораждащото я множество

е с кристално прозрачна логика и би могло да бъде разбрано и от дете в забавачница. Разликата е единствено в това, че детето не би могло да измисли това доказателство!!! А ето го и самото него.

      Нека А е произволно непразно множество и К е кулата на А. Да допуснем, че съществува множество А равномощно със своята кула К. Това означава, че съществува биективно съответствие f между А и К. Нека х е произволен елемент на А и f(x) е образът на този елемент в К. По дефиницията на К това означава, че f(x) e подмножество на А. Да наречем елемента x ВЪЗПИТАН, ако той не принадлежи на f(x). Вече предусещам нещо като негодувание у някои от вас: Какви ни ги дрънка този? Не е ли възможно да не съществуват ВЪЗПИТАНИ елементи? Не! - Отговарям ви веднага. Вероятно помните, че празното множество е подмножество на всяко множество. А тогава то е подмножество и на нашето множество А. Следователно празното множество е елемент на К. Тъй като съответствието f е биективно, то ще съществува елемент y на А, съпоставен на празното множество. Но очевидно у не може да принадлежи на празното множество, защото то по дефиниция няма елементи. Следователно елементът у е със сигурност ВЪЗПИТАН. Сега вече вие сте наясно, че множеството от всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А не може да бъде празно. Да го означим с B. Тъй като очевидно В е подмножество на А, то В е елемент на К. Нека z e онзи елемент на А, който съответствието f съпоставя на В. Задаваме си естествения въпрос - ВЪЗПИТАН ли е z? Да допуснем, че е именно такъв елемент. Тогава, съгласно дефиницията на ВЪЗПИТАН елемент, ще имаме, че z не принадлежи на f(z). Но f(z) = B. Излезе, че z хем е ВЪЗПИТАН, хем не принадлежи на множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи В. А това е логически абсурд. Следователно z не е ВЪЗПИТАН. Но тогава z принадлежи на f(z) и тъй като f(z) = B, то z принадлежи на В. Но В е множеството на всички ВЪЗПИТАНИ елементи на А. Излезе, че все пак z e ВЪЗПИТАН.  Отново логически абсурд! Ала на какво се дължат тези логически абсурди? - с право ще ме попитате вие. Отговарям ви незабавно - на допускането, че съществува биективно съответствие между множеството А и неговата кула К. Значи такова съответствие не може да съществува и кулата К е винаги по-мощна от А. Изказано другояче:

2 на степен кардиналното число на А е винаги по-голямо от кардиналното число на А.

И така Кантор доказал нещо много съществено. А именно:

съществува безкрайна строго растяща редица от безкрайни кардинални числа - тази задаваща мощностите на безкрайната матрьошка от кули, породена от N - множеството на целите положителни числа.

Картинката изглеждала привлекателно проста. Алеф нула е най-малкото безкрайно кардинално число. То е последвано от числото алеф едно, равно на 2 на степен алеф нула. То пък е последвано от алеф две, равно на 2 на степен алеф едно. То пък е последвано от алеф три, равно на 2 на степен алеф две, etc до безкрайност. 

Това били планираните номера на канторовите галактики, в които разслоени лежали спящите красавици - безкрайности!!! Това била йерархията на алефите!!!

И всичко това щяло да е вярно, ако би била вярна континуум хипотезата. Но вече с вас разбрахме, че нейната вярност никак не следва от аксиомите, на които се полагал Кантор. Неговият математически рай се разминал с трансцеденталната и уви, непознаваема математическа Реалност. Но в тази енигматична Реалност, Кантор, като един паяк с неподражаем интелект, все пак вплел акордите на своите безбройни алефи!

/следва/