Открийте тайната

   Ако започнете да събирате кубовете на последоветелните цели положителни числа, ще се натъкнете на нещо много странно. Винаги се пулучава квадрат на цяло число. Например: сборът от кубовете на числата 1 и 2 е равен на квадрата на числото 3. Сборът от кубовете на числата 1, 2 и 3 е равен на квадрата на числото 6. Сборът от кубовете на числата 1, 2, 3 и 4 е равен на квадрата на числото 10. При по-дълбоко вглеждане ще установите даже, че ако съберете кубовете на числата от 1 до произволно избрано от вас цяло положително число n, то ще получите квадрата на сбора на числата от 1 до n.

    Въпросът ми е дали тази удивителна закономерност не съществува освен за кубовете, и за някои различни от 3 еднакви степени на събираемите от 1 до n? С други думи дали съществува число k различно от 3, такова, че за всяко цяло положително n сборът от к-тите степени на числата от 1 до n, включително, да е квадрат на цяло число?

Обосновете отговора си!