Решението

В материала си озаглавен "Моята нова загадка за вас" и качен в този сайт на линк:

https://otkrovenia.com/bg/proza/moyata-nova-zagadka-za-vas

поставих следния въпрос:

"Винаги ли лицето на един триъгълник е по-малко от половината на лицето на кръга, определен от описаната около този триъгълник окръжност?"

Моят отговор на този въпрос гласи - винаги!!!

За правоъгълен и тъпоъгълен триъгълник нещата са очевидни, защото този вид триъгълници са разположени изцяло в едната половина на кръга. Но за остроъгълен триъгълник нещата не са никак ясни.

Без да ограничаваме общността на разсъжденията си, можем да се условим да разглеждаме кръг с радиус 1. Спомнете си материала ми, озаглавен:

"Загадка проста  - всеки би разкрил я!",

качен на линка:
 

https://otkrovenia.com/bg/proza/zagadka-prosta-vseki-bi-razkril-ya

В него най-инициативните от вас трябваше да влязат в подземието под Белия дом, за да търсят триъгълник с лице 3/2. Спестих ви неприятната изненада, че търсенето ви ще завърши с провал, защото лицето на всеки триъгълник в това подземие е строго по-малко от 3/2. Но лицето на полукръга е равно на Пи/2. Тъй като числото Пи е по-голямо от 3, то оттук получавате отговора на въпроса и то директно. Трудността тук е в това да докажете, че ако S е лицето на триъгълника, то S<3/2. Ще ви оставя да се поблъскате сами над това доказателство.

Но има и втори подход. Той се състои в това да съобразите, че от всички триъгълници вписани в окръжност най-голямо лице има равностранният. Но лицето на равностранния триъгълник се пресмята без всякаква трудност и се проверява, че това лице е строго по-малко от лицето на полукръга!