Мит ли е безкрайността? (6)

Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-2 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-3 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-4 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-5

        Кантор нарекъл всяко безкрайно множество, което е в биективно съответствие с множеството на целите положителни числа, изброимо. Произходът на този термин е очевиден - елементите на едно такова множество могат винаги да бъдат номерирани, например: първи елемент, втори елемент, трети елемент etc. Следователно всяко изброимо множество има мощност алеф нула. Казано другояче, кардиналното число на такова множество е алеф нула. Можем, разбира се, да се уговорим да наричаме и крайните множества изброими, но тяхната изброимост е тривиална.

         Шокиращ факт е, че множеството на всички положителни дроби се оказало изброимо. Съветвам ви сами да откриете биективното съответствие между множеството на положителните дроби и множеството на целите положителни числа. Търсенето на това съответствие ще ви достави по-голяма радост, отколкото да четете роман на Агата Кристи, а когато намерите съответствието /предложено за пръв път от Кантор/ съм убеден, че ще се почувствате като Еркюл Поаро. На пръв поглед изброимостта на положителните дроби сякаш противоречи на здравия смисъл. Причината е проста. Вземете едно реално положително число от лъча между 0 и плюс безкрайност. Колкото и мъничко интервалче да разгледате, което съдържа във вътрешността си това избрано от вас число, то във вътрешността на това интервалче ще попадне и положителна дроб. Казано другояче положителните дроби са сякаш микроби, гъсто разположени върху лъча от 0 до плюс безкрайност. И този факт, на пръв поглед, не се връзва с доказаната от Кантор тяхна изброимост.

        Кантор нарекъл всички безкрайни множества, които не са изброими - неизброими. Той показал, с помощта на привидно елементарно логическо разсъждение, че числовата права, т.е. множеството на точките лежащи между минус и плюс безкрайност, е един  пример на неизброимо множество. Не е трудно да се съобрази, че неизброимостта на това множество се дължи на неизброимостта на множеството на ирационалните числа /т.е. онези числа, които не са дроби/.

       Кантор нарекъл числов континуум точките от числовата права, т.е. множеството на всички реални числа, заключени между минус и плюс безкрайност. Мощността, т.е. кардиналното число, на този континуум, била означена със c /да не се бърка с аналогичното означение за скоростта на светлината/. И така, безкрайното кардинално число c се оказало строго по-голямо от алеф нула. Големият въпрос се състоял в това

дали между тези две безкрайни кардинални числа лежи друго безкрайно кардинално число?

Отговорът на този въпрос, според Кантор, бил категоричното не. Именно този негов отговор е съдържанието на една знаменита хипотеза, днес известна ни като континум хипотезата. Впоследствие било доказано /от Пол Коен през 1963г./, че тази хипотеза е недоказуема с помощта на аксиомите, с които си служил Кантор.

         Генералната и много амбициозна идея на Кантор била да въведе строг ред в съвкупността на безкрайните множества. Да ги обособи в нещо като отделни галактики и така да даде пълната им класификация. Например всички безкрайни изброими множества лежат в галактиката с номер алеф нула. Тази галактика е в известен смисъл галактиката на безкрайните множества, лежащи най-близо до интелектуалните възможности на хомо сапиенс. Като инструмент за обособяване на такива галактики, Кантор използвал тъй наречените кули /power sets/ на множествата.

/следва/