Уравненията на Диофант

    В училищния курс по алгебра се изучават т.нар. алгебрични уравнения с едно неизвестно, най-често означавано с буквата x (чете се хикс или икс). Гордост на образователната система е че ни учи да решаваме общото квадратно уравнение: ax2 + bx + c = 0 . Това се извършва с помощта на една знаменита формула, която по-прилежните ученици зазубрят за цял живот. Тази формула е открита от древните индийци и впоследствие преоткрита от арабските математици. Тя е свързана с действие обратно на степенуването (и по-специално с повдигането на число или израз на степен 2). Това действие се нарича извличане на квадратен корен. Решаването на кубичните уравнения, както и на уравненията от четвърта степен, в буквен вид, т.е. намирането на буквена формула за решенията на тези уравнения е доста по-сложна задача и е изцяло заслуга на италианските математици от около 1500г. от н.е.  Тези буквени формули са много трудни за помнене и дори са плашещи за хора с по-слаби нерви. Любопитното е, че с намирането им от Сципион дел Феро и Людовико Ферари,  сагата за търсене на буквени формули за решенията на алгебричните уравнения завършва, защото е доказано, че уравненията от пета и по-висока от пета степен в буквен вид са нерешими чрез крайни алгебрични формули. Този удивителен резултат принадлежи на норвежкия математик Нилс Хенрик Абел (1802 - 1829), който умира от туберкулоза твърде млад - едва на 26 годишна възраст. Има, обаче, едни други уравнения. Тях за пръв път изследва систематично древногръцкият математик Диофант, живял през 3-ти век от н.е. Затова в негова чест те са наречени диофантови. Тези уравнения съдържат поне две неизвестни и неизвестните са винаги цели числа. Досега не е намерен общ алгоритъм за решаването на произволно диофантово уравнение в буквен вид. Нещо повече, руснакът Юрий Матиясевич доказа, че такъв алгоритъм не съществува. Ето защо всяко конкретно диофантово уравнение е една малка крепост, която е трудна за превземане. За решаване на диофантовите уравнения от първа степен няма принципни мъчнотии. То е тривиално постижимо.  Но решаването на диофантовите уравнения от втора степен не е тривиална задача. За щастие е намерен алгоритъм за решаването им, когато решението съществува. Едно такова знаменито диофантово уравнение е уравнението:

х2 + y2 = z2

Приписват това диофантово уравнение, с неизвестни  цели ненулеви числа x, y и z, на Питагор. От знаменитата теорема на Питагор следва, че числата x, y и z пробягват страните на всички целочислени правоъгълни триъгълници. Тези числа са наречени питагорови тройки в чест на Питагор. Съществуват безбройно много питагорови тройки.Те се описват с помощта на сравнително простите формули:

x = p2–q2;  y = 2pq;  z = p2+q2   (където p и q могат да бъдат заместени с прoизволни ненулеви цели числа).

Например при p = 2 и q = 1 горните формули дават: x = 3, y = 4, z = 5. Това е най-малката по абсолютна стойност питагорова тройка, защото  9 + 16 = 25. С помощта на тази тройка и въженце с възли, древните египтяни са построявали прави ъгли.

       С питагоровите тройки е свързана и една невероятно любопитна история. Нейният родоначалник е френският математик-любител Пиер дьо Ферма (1607 - 1665) - по професия юрист от Тулуза. Ферма обичал теоретико-числовите главоблъсканици и оставил името си в Теорията на числата с редица свои резултати. Той е предшественик на Лайбниц и Нютон по отношение на интегралното и диференциално смятане, а също и на Рене Декарт по отношение на т.нар. днес - декартови координатни системи. Ферма се увличал силно от решаването на диофантовите уравнения и в това отношение задминал своите съвременници с векове. В полето на книга той прави кратка бележка по повод питагоровите тройки. Ферма записва, че за разлика от диофантовото уравнение

х2 + y2 = z2 (което както видяхме има безбройно много решения), уравнението:

хn + yn = zn

за никое цяло число n, което е по-голямо от 2, не може де има нито едно решение, когато x, y и z са цели числа, различни от 0.

Ферма добавил в бележката си, че притежава удивително доказателство на това твърдение, но тясното поле на книгата не му позволява да го помести. Това твърдение, днес известно като Великата (Голямата) теорема на Ферма, хвърля в шок математическия свят за векове напред, защото "удивителното доказателство" на Ферма, така и не било открито. Намерено е доказателството на Ферма единствено за случая n = 4. Велики математици си строшили зъбите в опити да докажат хипотезата на Ферма. Тя е доказана едва в наши дни - през 1995 година, от Андрю Уайлс, но с помощта на Теорията на елиптичните криви. И макар Ферма да е имал понятие от елиптични криви, той едва ли е имал предвид тях, твърдейки, че е намерил "удивително доказателство". Много ми се иска някой ден тази голяма загадка да бъде разбулена и ние най-накрая да узнаем какво точно е разбирал Ферма под думите "удивително доказателство". А след този мой материал, се надявам, че вече ще можете да изпробвате силите си и на полето на диофантовите уравнения.

П.П. Ако наистина искате да изпробвате силите си за решаване на диофантови уравнения, то пробвайте с това:

1 + x + x2 + x3 + x4  = y2 

Решението е наистина красиво и изненадващо!