За числата

         В своята "История на Философията" Георг Вилхелм Фридрих Хегел лансира смелата идея, че числото е връзката между света на идеите и света на материята. Още по-крайни от Хегел са питагорейците. Те считали, че числото е всичко. Тоест съществуват само числата, а всичко останало е някакво тяхно въплъщение. Питагорейците вярвали, че всички числа се изчерпват с целите числа, а също и с онези числа, които са отношения на цели. Цялата тази съвкупност ние наричаме дроби /положителни, отрицателни и 0/, а специалистите днес ги наричат множество на рационалните числа  /а още по-прецизно - поле на рационалните числа/. При това числата 0 и 1 формират най-загадъчната двоица числа, която трудно се поддава на разумно обяснение. Можем да считаме, че първата й компонента е носител на адитивна неутралност /т.е. неутралност по отношение на събирането/, а втората на мултипликативна неутралност  /т.е. неутралност по отношение на умножението/. Чисто философски погледнато 0 и 1 са числа, но същевременно и не са числа.

           Питагорейците вършели чудеса с дробите. Те се полагали на аксиомата, че цялата световна хармония е израз на числовата хармония на дробите. Пренесли това свое вярване от математиката в астрономията, музиката и изобщо във всички сфери на живота. Това ги довело до удивителни резултати и затвърдило у тях убеждението им, че са на прав път. За тяхно нещастие, обаче, един член на питагорейското братство /някой си Хипазос от Метапонт/ доказал, че отношението между дължината на диагонала на произволен квадрат и дължината на страната му не се изразява чрез дробно число. Не е известно по какъв начин Хипазос е доказал своето прозрение, но е известно, че това е завършило твърде трагично за него. Той бил удавен, за да не разпространи страшната тайна. Днес ние може много лесно да докажем въпросното твърдение. Тъй като цитираното отношение е квадратен корен от две /това следва незабавно от знаменитата питагорова теорема/, то ако то можеше да се запише в несъкратим вид чрез дробта a/b, бихме имали равенството: аxa = 2bxb. Следователно числото a e четно. Нека a=2c. Тогава имаме: 4cxc = 2bxb. Като съкратим на 2 намираме: 2cxc = bxb. Но тогава заключаваме, че и числото b е четно. Ала няма как числата a и b да са четни едновременно, защото предположихме, че дробта a/b е несъкратима. Полученото противоречие доказва, че числото квадратен корен от 2 не може да се представи във вид на дроб. Такива числа са наречени ирационални /в противовес на дробите, които са рационални числа/. Днес ние знаем, че рационалните числа са пренебрежимо малко в сравнение с ирационалните, но вероятно първоначално питагорейците са приели откритото от Хипазос число като велико изключение от техния хармоничен числов свят /"блажени са вярващите"/.

            Кралят на математиката Карл Фридрих Гаус твърдял, че съществуват много геометрии, но числата са единствени. Това комбинирано с мисълта на големия немски математик Леополд Кронекер, че:

"Бог създаде целите числа, а всички други числа са дело на човека!"

означава, че Гаус е считал целите числа за единствени. Дълго време и аз самият бях убеден в правотата му, но после се натъкнах на безброй множества от числа подобни на целите /като паралелни вселени/. Те са останали извън полезрението на съвременната математика единствено по причина на преклонението пред авторитетите. Както вече отбелязахме по-горе, числото 0 е неутрален елемент по отношение на събирането, т.е. 0+1 = 1, 0 +2 = 2, 0 +3 = 3 etc. Същевременно 1 е неутрален елемент по отношение на умножението, т.е. 1x0 = 0, 1x1 = 1, 1x2 = 2, 1x3 = 3 etc. Но главното свойство на числото 1 е, че то се явява генератор по отношение на събирането, т.е. всяко цяло число се генерира от последователни сборове на числото 1:

2 = 1+1, 3 = 1+1+1, 4 = 1+1+1+1 etc.

Тук сякаш е редно да си припомним известната мисъл на древнокитайския философ Лао Дзъ:

"Дао ражда едно. Едно ражда две. Две ражда три. Три ражда мириадите неща!"

Днес ние изразяваме математически този удивителен факт, казвайки, че:

целите числа са адитивна циклична група с пораждащ /генериращ/ елемент числото 1.

Но по отношение на умножението /което е операция произведена изцяло от събирането по правилото:

2x3 = 2+2+2 = 3+3; 3x5 = 3+3+3+3+3 = 5+5+5 /

ние имаме неразложими елементи, които са наречени прости числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, еtc. Те са безбройно много и всяко от тях е непредставимо като произведение на две цели числа по-големи от 1.

Всички останали цели числа, наречени съставни, се разлагат по единствен начин на произведение от прости числа /това е т.нар. основна теорема на аритметиката/, например:

12 = 2x2x3; 27=3x3x3; 30=2x3x5.

Множеството на целите числа е затворено по отношение на всяка една от операциите събиране и умножение, т.е. сбор на две цели числа е цяло число и произведение на две цели числа е цяло число.

Както видяхме, по отношение на операцията събиране числото 0 е неутрален елемент, а числото 1 е генериращ елемент. Има обаче и един поглъщащ елемент и това е символът безкрайност. Защото всяко цяло число събрано с безкрайност дава резултат безкрайност /т.е. безкрайността поглъща всяко цяло число - без изключение/. Разбира се не можем да считаме, че безкрайността е специален вид цяло число, макар че в някои конкретни числови модели бихме могли да я считаме и за такава.

Да резюмираме тази изключително важна информация.

По отношение на операцията събиране имаме три различни вида елементи:

1) безкрайност - поглъщащ елемент /в общия случай с неизвестна природа/;

2) 0 - неутрален елемент /който е цяло число;

3) 1 - генериращ елемент /който е цяло число/.

Какво, обаче, се случва по отношение на операцията умножение? Там отново имаме три вида елементи.

1') 0 от неутрален елемент за събирането се трансформира в поглъщащ елемент за умножението, защото 0xa = 0 за всяко цяло число a.

2') 1 от генериращ елемент за събирането се превръща в неутрален елемент за умножението, защото 1xa = a за всяко цяло число a.

3') ролята на генериращи елементи по отношение на умножението играят простите числа. За всяко просто число p всички негови степени формират циклична група, т.е. множество, което е пълен аналог на множеството на целите числа /по отношение на събирането/, с единствена разлика, че тук операцията е умножение.

Забележка. Трябва незабавно да предпазя читателите от заблуждението, че елемента безкрайност е поглъщащ и по отношение на умножението. Това не е така, защото 0 умножена по безкрайност може да не е безкрайност, а крайно число.

            Сега вече сме готови да върнем лентата назад и да си представим едно множество от обекти /които ще наричаме предчисла/, образуващи Числово подземие /Number underground/, лежащо под множеството на целите числа. Нека в това Числово подземие съществува една загадъчна операция *, относно която това множество е затворено. * при предчислата е аналог на операцията събиране при целите числа/да наречем * предсъбиране/.  От предсъбирането се поражда класическото събиране, така както класическото събиране поражда умножението. Да предпоставим

1) - 3) -------> 1') - 3'),

като всеобщ принцип на феноменология на поглъщащия, неутралния и генериращия елементи. Тогава ще се окаже, че елемента 0 е генериращ, т.е. 0 генерира предчислата посредством * . Ролята на неутрален елемент при предчислата очевидно ще играе безкрайността. Между елементите на това Числово подземие ще има безбройно много неразложими елементи спрямо операцията събиране /аналози на простите числа/. Един от тези елементи е числото 1, което /както видяхме по-горе/ генерира целите числа. Всеки един от останалите неразложими елементи /предчисла/ ще генерира безкрайно множество - паралелен числов свят на множеството на целите числа. Така се генерират дефакто безбройно много числови светове /числови вселени/ аналози на множеството на целите числа, което прави на пух и прах твърдението на Гаус за единственост на множеството на целите числа. Главната трудност в Числовото подземие е да предложим смислен начин за изразяване на бройността, тъй като същата е ясно осезаема за нас едва в множеството на целите числа /понеже броенето започва от тях/.

             Днес ние сме стигнали до такава степен на абстракция при изграждането на понятието число, че фактически сме почти на прага да изгубим това понятие, заменяйки го с всевъзможни алгебрични перверзии. От друга страна в зората на възникването си като понятие числото е имало почти изцяло тотемна същност, което е не по-малко далече от научната истина за това понятие. Моето скромно мнение е, че само дълбокия анализ на ситуацията ще ни доведе до пълно преосмисляне на математиката, а оттам и на реалността.

Бел. на автора. В това есе говорех непрекъснато за цели числа, а на практика боравих само с цели положителни числа. Извърших това умишлено с цел да не претрупвам читателя с ненужни детайли и да направя материята по-достъпна за възприемане.