Древните гърци открили съвършените числа. За тях това били онези цели положителни числа по-големи от 1, които са сбор на всички свои делители (като числото 1 също се приема за делител). Най-малкото такова число е 6, защото

6 = 1 + 2 + 3,

а числата 1, 2 и 3 са всички делители на 6. Вероятно по пътя на налучкването гърците намерили и второто поред съвършено число. Оказала се, че то е 28, защото

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

а числата 1, 2, 4, 7 и 14 са всички делители на числото 28.  Намирането на следващото по големина съвършено число явно е коствало значително по-големи усилия, защото то е 496. Може сами да намерите всичките му делители, да ги съберете и да се убедите, че сборът им дава точно 496. Ако сте наблюдателни, лесно ще забележите, че сбора от реципрочните стойности на делителите на едно съвършено число /които са по-големи от 1 и по-малки или равни на това число/ е равен винаги на числото 1. Например за делите на 6 имаме:

1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.

За делителите на 28 също имаме:

1/2 + 1/4 + 1/7 + 1/14 + 1/28 = 1.

И следващото съвършено число, а то е 8128, е било известно на древните гърци. Но да открият съвършените числа по-големи от него явно не им е било по силите, защото тези числа стават изведнъж огромни:

33 550 336, 8 589 869 056, 137 438 691 328, еtc.

Десетото поред съвършено число е вече 54 цифрено чудовище. Днес благодарение на мощни компютърни програми са пресметнати първите 51 на брой съвършени числа. Не изключвам възможността, докато пиша този материал, да са пресметнати и някои по-големи от тях. В този случай ще ви помоля за извинение, че не съм бил в крачка  с най-последните изчисления.

Прави впечатление, че всички намерени досега съвършени числа са все четни. Нечетно съвършено число все още не е открито.

Твърде вероятно е такова да не съществува.

Това е съдържанието на една знаменита хипотеза известна още от времената на Евклид.

За доказателството й се предлага награда от 1 000 000 щатски долара.

Досега не е доказано, че четните числа са безбройно много,

но има основание да се предполага, че това е така.

Ако съществува поне едно нечетно съвършено число, то ще е толкова огромно, че съвременните компютри са абсолютно безсилни да достигнат до него.

         Ако си спомняте легендата за изобретателя на шаха, то той поискал /за откритието си/ от махараджата следния дар, състоящ се от оризови зрънца:

за първото шахматно квадратче да получи 1 оризово зрънце. За второто 2. За третото 4. За четвъртото 8. За петото 16 и т.н., докато се изчерпят всички 64 квадратчета на дъската. За всяко следващо квадратче изобретателят на древната игра желаел да получи 2 пъти повече оризови зрънца, отколкото за предходното.

Оказало се, че толкова много ориз няма на цялата планета и махараджата не могъл да изпълни неговото желание /въпреки благоразположението си/ по чисто технически причини.

          А сега си представете, че вие сте изобретатели на игра, която се играе на дъска съдържаща р на брой квадратчета, където p е произволно просто число (т.е цяло положително число > 1, което се дели само на себе си и на числото 1). Искате да получите от махараджата възнаграждение за това, че сте изобретили тази нова игра. Нека това възнаграждение е съответното количество оризови зрънца, определено по вече описаното по-горе правило. Да означим броя на тези зрънца с М(p). Големият древногръцки геометър Евклид доказал, че ако и М(p) e просто число и го умножим с числото 2 на степен (p - 1), то резултатът от това умножение ще е винаги четно съвършено число.

Оказва се, че всички известни досега четни съвършени числа могат да се получат чрез това правило на Евклид.

Не било ясно, обаче, дали правилото на Евклид не пропуска някои четни съвършени числа.

На този въпрос отговорил изчерпателно най-великият математик на всички времена - Леонард Ойлер (1707 - 1783):

http://spisanie.harta.bg/statia/735

Той доказал строго, че:

правилото на Евклид изчерпва всички четни съвършени числа.

С това въпросът за намирането на всички четни съвършени числа бил напълно решен. За вас оставям задачата да откриете първото нечетно съвършено число. Дерзайте!

Бел. на автора. Поради проявения интерес за крупната награда, която очаква онзи, който докаже пръв хипотезата, че не съществува нечетно съвършено число, прилагам адреса, от който тази награда в размер на 1000 000 щатски долара може да бъде получена:

https://www.claymath.org/about-cmi/contact-cmi

https://www.claymath.org/millennium-problems/rules-millennium-prizes

https://www.claymath.org/sites/default/files/millennium_prize_rules_0.pdf

На първия и втория линкове се съдържа информация за Института отпускащ тези награди. На третия линк /отгоре надолу/ се съдържа информация за това какви са условията за получаване на голямата награда.

На следващия линк ви давам и списък с нерешените проблеми, всеки от които може да ви донесе по 1 000 000 щатски долара награда:

http://www.numericana.com/answer/open.htm

Дерзайте! Зелените гущерчета ви очакват с нетърпение!