Отговор на Открийте тайната

В материала си "Открийте тайната", качен в сайт Откровения на линк:

https://otkrovenia.com/bg/proza/otkrijte-tajnata

ви поставих една любопитна задача, която си поставих сам. По-долу може да проследите едно нейно решение, намерено от мен.

Решение:

Нека цялото положително число k е такова, че за всяко цяло положително число n сборът от k-тите степени на числата от 1 до n /включително/ е квадрат на цяло число. Тогава и сборът 1^k + 2^k също трябва да е квадрат на цяло число. Да го означим с x. Значи имаме: x^2 = 1^k + 2^k. Откъдето:

x^2 - 1 = 2^k. Оттук получаваме:

(x - 1)(x + 1) = 2^k

От последното равенства следва, че имаме:

x + 1 = 2^a

x - 1 = 2^b

за някакви цели положителни числа a и b, за които е в сила: a > b и a + b = k.

Оттук намираме:

b = k - a.

Следователно:

x = 2^a - 1

x = 2^(k - a) + 1.

Откъдето:

2^a - 1 = 2^(k -a) + 1.

От последното равенство намираме:

2^a - 2^(k - a) = 2.

Съкращаваме на 2 двете страни на последното равенство и достигаме до равенството:

(*)                2^(a - 1) - 2^(k - a - 1) = 1.

Да анализираме това последно равенство. В дясната му страна стои числото 1, което е нечетно. Следователно това равенство може да съществува само ако е в сила:

k - a - 1 = 0.

Оттук намираме: a = k - 1. Заместваме това в (*) и намираме:

2^(k-2) - 1 = 1.

Така получаваме: 2^(k -2) = 2.

Сега разделяме на 2 двете страни на последното равенство и намираме равенството:

2^(k - 3) = 1.

Последното е възможно само ако k - 3 = 0. Откъдето: k = 3.

Така доказахме, че ако цялото положително число k е такова, че за всяко цяло положително число n сборът от k-тите степени на числата от 1 до n /включително/ е квадрат на цяло число, то k = 3.

Обратно, нека k = 3. Тогава за всяко цяло положително число n е в сила добре известното равенство:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)^2

и с това задачата е напълно решена.