Тайните на четириъгълника
Четириъгълникът е една от най-загадъчните равнинни фигури. Очевидно той може да се изроди до триъгълник, чрез сливане на два от върховете му. А тогава ни спохожда и първото прозрение, уважаеми читатели. А то е, че цялото възможно познание за триъгълника е само една малка част от познанието за четириъгълника!
Има няколко особености на четириъгълника, които го отличават съществено от триъгълника.
Първата от тях е, че за разлика от триъгълника, който винаги е изпъкнала фигура, съществуват четириъгълници, които не са изпъкнали фигури. Но какво означава една фигура в равнината да е изпъкнала? Резонен въпрос! Фигурата е изпъкнала, ако за всеки две нейни точки е изпълнено, че тази фигура съдържа всички точки от отсечката, която свързва тези две точки.
Втората особеност на четириъгълника е, че неговият център на тежестта може да е точка различна от барицентъра му. За триъгълника центърът на тежестта - пресечната точка на медианите, съвпада винаги с барицентъра - точката, чиито координати са средно аритметично на координатите на върховете му.
Има още съществени разлики между триъгълника и четириъгълника.
Една от тях е, че всеки триъгълник е вписан в окръжност - при това единствена, докато не всеки четириъгълник може да бъде вписан в окръжност. Лесно е да съобразите, че един четириъгълник може да бъде вписан в окръжност само когато сборът на два от срещуположните му ъгли е равен на 180 градуса.
Друга такава съществена разлика между триъгълника и четириъгълника се изразява в това, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност - при това единствена, докато четириъгълниците, в които може да се впише окръжност отговарят на специалното условие - сборовете от дължините на двойките срещуположни страни са равни.
Ако с a,b,c,d означим дължините на страните на четириъгълник, който е едновременно вписан в някаква окръжност и описан около друга окръжност, то лицето S на този четириъгълник се задава по удивителната формула:
S = квадратен корен от a.b.c.d
Ако горният четириъгълник е само вписан в окръжност, то 1/16 от квадрата на S се равнява на следния абсолютно симетричен израз:
(b + c + d - a).(a + c + d - b).(a + b + d - c).(a + b + c - d).
Тази красива формула е намерена от древноиндийския математик Брахмагупта, живял в интервала между 598 и 670 година. При d = 0 формулата на Брахмагупта дава известната формула на древногръцкия математик Херон Александрийски (10г. - 75г.) за лице на триъгълник при дадени дължини на страните му.
Може би най-известната теорема за вписан четириъгълник принадлежи на великия Александрийски математик, астроном, астролог и географ Клавдий Птолемей (100г. - 170г.) - бащата на знаменитата Геоцентрична система. Тази теорема гласи:
Произведението от дължините на диагоналите на вписан в окръжност четириъгълник е равно на сумата от произведенията на дължините на срещулежащите му страни.
На мнозина тази теорема може да се стори ученическа, но истината е, че тя е много дълбока. С нейна помощ през 2016г. ми се удаде да извлека и да докажа следния много неочакван резултат:
Ако М1, M2, M3,..., Mn, са върхове на правилен n-ъгълник вписан в окръжност и M е произволна точка от тази окръжност, различна от върховете му, то поне n/3 от разстоянията: MM1, MM2, MM3,..., MMn са ирационални числа:
https://nntdm.net/volume-22-2016/number-2/04-09/
© Младен Мисана All rights reserved.
