Тайните на четириъгълника
Четириъгълникът е една от най-загадъчните равнинни фигури. Очевидно той може да се изроди до триъгълник, чрез сливане на два от върховете му. А тогава ни спохожда и първото прозрение, уважаеми читатели. А то е, че цялото възможно познание за триъгълника е само една малка част от познанието за четириъгълника!
Има няколко особености на четириъгълника, които го отличават съществено от триъгълника.
Първата от тях е, че за разлика от триъгълника, който винаги е изпъкнала фигура, съществуват четириъгълници, които не са изпъкнали фигури. Но какво означава една фигура в равнината да е изпъкнала? Резонен въпрос! Фигурата е изпъкнала, ако за всеки две нейни точки е изпълнено, че тази фигура съдържа всички точки от отсечката, която свързва тези две точки.
Втората особеност на четириъгълника е, че неговият център на тежестта може да е точка различна от барицентъра му. За триъгълника центърът на тежестта - пресечната точка на медианите, съвпада винаги с барицентъра - точката, чиито координати са средно аритметично на координатите на върховете му.
Има още съществени разлики между триъгълника и четириъгълника.
Една от тях е, че всеки триъгълник е вписан в окръжност - при това единствена, докато не всеки четириъгълник може да бъде вписан в окръжност. Лесно е да съобразите, че един четириъгълник може да бъде вписан в окръжност само когато сборът на два от срещуположните му ъгли е равен на 180 градуса.
Друга такава съществена разлика между триъгълника и четириъгълника се изразява в това, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност - при това единствена, докато четириъгълниците, в които може да се впише окръжност отговарят на специалното условие - сборовете от дължините на двойките срещуположни страни са равни.
Ако с a,b,c,d означим дължините на страните на четириъгълник, който е едновременно вписан в някаква окръжност и описан около друга окръжност, то лицето S на този четириъгълник се задава по удивителната формула:
S = квадратен корен от a.b.c.d
Ако горният четириъгълник е само вписан в окръжност, то 1/16 от квадрата на S се равнява на следния абсолютно симетричен израз:
(b + c + d - a).(a + c + d - b).(a + b + d - c).(a + b + c - d).
Тази красива формула е намерена от древноиндийския математик Брахмагупта, живял в интервала между 598 и 670 година. При d = 0 формулата на Брахмагупта дава известната формула на древногръцкия математик Херон Александрийски (10г. - 75г.) за лице на триъгълник при дадени дължини на страните му.
Може би най-известната теорема за вписан четириъгълник принадлежи на великия Александрийски математик, астроном, астролог и географ Клавдий Птолемей (100г. - 170г.) - бащата на знаменитата Геоцентрична система. Тази теорема гласи:
Произведението от дължините на диагоналите на вписан в окръжност четириъгълник е равно на сумата от произведенията на дължините на срещулежащите му страни.
На мнозина тази теорема може да се стори ученическа, но истината е, че тя е много дълбока. С нейна помощ през 2016г. ми се удаде да извлека и да докажа следния много неочакван резултат:
Ако М1, M2, M3,..., Mn, са върхове на правилен n-ъгълник вписан в окръжност и M е произволна точка от тази окръжност, различна от върховете му, то поне n/3 от разстоянията: MM1, MM2, MM3,..., MMn са ирационални числа:
https://nntdm.net/volume-22-2016/number-2/04-09/
© Младен Мисана All rights reserved.
Свързани произведения
Comments
-
Поет,математик,човек с голямо сърце!Поздрави,Приятелю!
-
Благодаря ви, Слав, Любомира, Стойчо!
Слав - бих се определил като поет в математиката и математик в поезията.
Любомира, ще помисля какво мога да напиша за вдлъбнатите фигури.
Стойчо, благодаря ти за интересния коментар и за Любими. Всъщност ромбът е успоредник с равни съседни страни...Мисля, че инквизицията съществува и в нашето съвремие!
Благодаря на Елка Тодорова и на Иви за Любими!
Поздрав за всички: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=mqokRsCibrY -
Доста мислих за ромба като четириъгълник.
Беше ми интересно да науча,че много преди Николай Коперник Клавдий Птолемей е бил наясно със звездите и Земята!
Жалко,че Светата Инквизиция е погубила Джордано Бруно и едва не е убила Галилео Галилей,заради схоластиката на религиозните вярвания.
Поздравления за написаното,Младен! -
Вдлъбнатите фигури са много интересни! Може би на тях трябва да посветиш специално есе.
-
Поет математик?
-
Благодаря ти от сърце, Иви!
Много си права, че капката е добър пример за съвършена форма.
Що се касае до ъгълниците, всичко зависи от дефиницията, която ще дадем на понятието ъгъл. Убеден съм, че можем да подходим към нея така, че един ъгълник най-парадоксално да се окаже заоблен. Поздрав с едно парче:
https://www.youtube.com/watch?v=yGk34zEtcMg -
Ех! Представям си какво би означавало това съизмеримо отнесено към човешките взаимоотношения. Или където съвършените обли форми на физиката са толкова хармонични, че в "ъгълниците" няма никаква красота.
Много добър материал, Маестро!
Благодаря ти!
В този ред на мисли смятам, че най- съвършена е формата на капката вода... Не съм физик. Просто като човек я асоциирам със сълза. Или капка кръв.🙂
Random works
© 2003-2024, Georgi Kolev. All rights reserved. The works are the property of their authors.
