В този материал ще стане дума за това как да познаем дали едно цяло положително число се дели на друго цяло положително число, което е нечетно и не окончава на 5, без да осъществяваме процеса на деление.

    И така, нека имаме едно предварително избрано цяло положително число N и едно друго положително нечетно число К, което не окончава на цифрата 5. Вие се нуждаете от признак за делимост на числото К. Тоест от просто правило, чрез което да узнаете дали N се дели на К, без да извършвате никакви деления. Извадихте късмет, защото точно аз съм този, който ще ви даде този важен признак, който не се учи нито в училища, нито в университети. За целта ще въведа едно цяло число Х, което е неразривно свързано с числото К. Ще наричам Х ключово число за К. Числото Х ще бъде най-малкото по абсолютна стойност цяло число, за което числото 10.Х - 1 се дели на К. Ще дам няколко прости примера, за да разберете как при зададено К вие сравнително лесно /например чрез налучкване/ можете да отгатнете ключовото число Х.

Нека най-напред К=3, или К=9. Тогава очевидно Х=1, защото 10.Х - 1 = 10.1 - 1 = 9, а числото 9 се дели както на 3, така и на 9.

Нека сега К=7. Тогава Х= -2, защото имаме 10.Х - 1 = 10.(-2) - 1 = -21, а числото -21 се дели на 7.

Нека К=11. Тогава Х= -1, защото 10.Х - 1 = 10. (-1) - 1 = -11, а очевидно -11 се дели на 11.

Нека К = 13. Тогава Х=4, защото 10.Х - 1 = 10.4 - 1 = 39, а 39 се дели на 13.

Нека К=17. Тогава Х= -5, защото 10.Х - 1 = 10.(-5) - 1 = -51, а -51 се дели на 17.

Нека К=19. Тогава Х=2, защото 10.Х - 1 = 10.2 - 1 = 19, а 19 се дели на 19.

Нека К=21. Тогава Х= -2, защото 10.Х - 1 = 10.(-2) - 1 = -21, а -21 се дели на 21.

Оставям на вас самите да определите ключовото число Х за всяко едно от числата: 23, 27, 29, а ако поискате и по-нататък, докъдето не ви омръзне.

          И така след като вече сме определили ключовото число Х за числото К, признакът за делимост на К може лесно да бъде формулиран.

          Нека да проверим дали числото N се дели на К. Постъпваме така. Нека A е последната цифра на N. Мислено зачеркваме тази последна цифра А в N. Така се получава ново число. Към него добавяме числото A.X. Новополученото число означаваме с N₁. Нека последната цифра на N₁ e A₁. С числото N₁ постъпваме аналогично. Зачеркваме мислено последната му цифра и към така полученото число добавяме числото A₁.Х. Ще получим ново число, което означаваме с N₂. С числото N₂ постъпваме аналогично etc. Всяко следващо число има брой цифри с 1 по-малък от броя на цифрите на предходното. Движейки се по указания начин, най-накрая ще достигнем до число N_t броят на цифрите на което е равен на този на К. Нашият критерий гласи:

Изходното число N се дели на К точно когато числото N_t се дели на К.

Ето ви два онагледяващи примера:

1. Да проверим дали N=1553 се дели на 7. Използваме, че за К=7 ключовото число е Х= -2. Зачеркваме мислено последната цифра A=3 на N и получаваме числото 155. Към него прибавяме числото A.X = 3.(-2) = -6. Получаваме 155 + (-6) = 149 и полагаме N₁ = 149. Последната цифра на N₁ е A₁ = 9. Зачеркваме тази цифра мислено в 149 и получаваме числото 14. Към 14 прибавяме числото A₁.X = 9.(-2) = -18. Получаваме 14 + (-18) = -4. Числото -4 означаваме с N₂. Очевидно N₂ не се дели на 7. Следователно и числото 1553 не се дели на 7.

2. Да проверим дали числото  N=4389 се дели на 19. Използваме, че за К=19 ключовото число е Х=2. Зачеркваме мислено последната цифра А=9 на N и получаваме числото 438. Към него прибавяме числото A.X = 9.2 = 18. Получаваме 438 + 18 = 456 и полагаме N₁=456. Последната цифра на N₁ e A₁= 6. Зачеркваме тази цифра мислено в 456 и получаваме числото 45. Към него прибавяме числото A₁.X = 6.2 = 12 и получаваме N₂ = 57. Още тук съобразяваме, че N₂ се дели на 19 и следователно числото 4389 се дели на 19. Но можем да завършим и с още по-ефектен ход. Зачеркваме в N₂ последната цифра A₂=7. Получаваме числото 5. Към него прибавяме числото A₂.X = 7.2 = 14 и получаваме N₃ = 5 + 14 = 19. Тъй като N₃ = 19, то N₃ очевидно се дели на 19, а значи и N = 4389 се дели на 19.

          Целта на горните два примера бе една числена илюстрация на признаците за делимост на числата 7 и 19.

         Следва да отбележа и факта, че описаният признак за делимост на числото К е доказан съвсем строго. Но това строго доказателство ще изложа в следващия си материал. Тук моята скромна цел бе да попълня колекцията ви от признаци за делимост с безкрайно много нови такива и мисля, че се справих според възможностите си. Но ви съветвам да се поупражните и сами върху изложеното от мен.

          Едно друго ефектно приложение на ключовите числа ще ви демонстрирам чрез следния пример. Нека n e нечетно положително число, което не окончава на 5. Целта ни е да пресметнем десетичното развитие на дробта 1/n без да прибягваме до деление. Как ще стане това? - ще попитате вие. Ще ви изясня това чрез конкретния пример n = 29.

И така трябва да пресметнем десетичното развитие на 1/29 без да делим. Да допуснем, че вече сме намерили това развитие и то е следното:

1/29 = 0,(abcde...x)

Скобите означават, че изразът в тях ще се повтаря до безкрайност.  Последната цифра, означена от нас с х, притежава винаги следното свойство. Тя е най-малкото цяло неотрицателно число, за което числото 1 + 29.x трябва се дели на 10

(в общия случай 1 + n.x се дели на 10). Очевидно е, че за n = 29 имаме х = 1. Лесно проверяваме, че ключовото число за 29 е 3. Тогава постъпваш по следния начин, уважаеми читателю:

Пишеш някъде много надясно върху листа числото 1. Умножаваш го по 3 и получаваш 3. Цифрата 3 изписваш вляво от числото 1. Получи 31. Сега умножаваш 3 по 3 и получаваш 9. Цифрата 9 изписваш вляво от 3. Получаваш:  931.

Сега умножаваш 9 по 3 и получаваш 27. Вляво от 9 записваш 7 и пазиш 2 за наум. Имаш: 7931. Сега умножаваш 7 по 3. Това дава 21. Прибавяш онези 2 наум и получаваш 23. Значи пред 7931 пишеш 3 и запазваш 2 наум. Получи числото 37931. Умножаваш челната цифра 3 по 3. Получаваш 9. Прибавяш онези 2 наум. Получаваш 11. Пишеш пред числото 37931 цифрата 1 и запазваш 1 наум. Получаваш числото 137931. Умножаваш 1 по 3. Това дава 3. Прибавяш 1 наум и получаваш 4. Записваш 4 челно пред числото 137931 и получаваш числото 4137931. Умножаваш 4 по 3 и получаваш 12. Записваш в челото на последното число 2 и запазваш 1 наум. Получаваш 24137931. Сега умножаваш 2 по 3 и получаваш 6. Прибавяш онова 1 наум и получаваш 7. Пишеш го челно пред последното число. Получаваш: 724137931. Сега умножаваш 7 по 3 и получаваш 21. Пишеш 1 челно и запазваш 2 наум. Това дава числото 1724137931. Умножаваш 1 по 3. Получаваш 3 и добавяш онези 2 наум. Получи се 5. Записваш 5 челно пред последното дълго число и получаваш 51724137931. Сега умножаваш 5 по 3. Получаваш 15. Записваш челно пред последното дълго число 5 и запазваш 1 наум. Получава се числото 551724137931. Умножаваш 5 по 3 и получаваш 15. Към него добяваш онова 1 наум. Получаваш 16. Записваш 6 в челото на дългото число и пазиш 1 наум. Получаваш 6551724137931. Умножаваш 6 по 3. Получаваш 18 и добавяш онова 1 наум. Получаваш 19. Пишеш 9 в челото на последното дълго число и запазваш 1 наум. Получаваш 96551724137931. Сега умножаваш 9 по 3 и получаваш 27. Прибавяш онова 1 наум и получаваш 28. Пишеш 8 в челото на дългото последно число и пазиш 2 наум. Получаваш 896551724137931. Умножаваш 8 по 3. Получаваш 24. Добавяш онези 2 наум и стигаш до 26. Пишеш 6 в челото на дългото последно число и пазиш 2 наум. Получаваш 6896551724137931. Сега умножаваш 6 по 3 и получаваш 18. Прибавяш онези две наум и получаваш 20. Пишеш 0 пред дългото число и запазваш 2 на ум. Получаваш 06896551724137931.Сега умножаваш 0 по 3 и получаваш 0. Добавяш 2 наум и получаваш 2. Пишеш 2 челно пред последното дълго число. Получаваш 206896551724137931.Сега умножаваш 2 по 3. Получаваш 6. Пишеш 6 челно пред последното дълго число. Получаваш 6206896551724137931. Умножаваш 6 по 3. Това прави 18. Пишеш 8 челно пред последното дълго число и запазваш 1 наум. Получаваш 86206896551724137931. Сега умножаваш 8 по 3. Това прави 24. Прибавяш онова 1 наум и получаваш 25. Пишеш 5 пред последното дълго число и запазваш 2 наум. Получаваш 586206896551724137931. Сега умножаваш 5 по 3 и получаваш 15. Прибавяш онези 2 наум и получаваш 17. Записваш 7 челно пред последното дълго число и пазиш 1 наум. Получаваш 7586206896551724137931. Умножаваш 7 по 3. Получаваш 21. Прибавяш онова 1 наум и получаваш 22. Записваш 2 челно пред последното дълго число и пазиш 2 наум. Получаваш 27586206896551724137931. Умножаваш 2 по 3 получаваш 6. Прибавяш онези 2 наум. Получаваш 8. Записваш 8 челно пред последното дълго число. Получаваш 827586206896551724137931. Умножаваш 8 по 3 и получаваш 24. Записваш 4 челно пред дългото число и запазваш 2 наум. Получаваш 4827586206896551724137931. Умножаваш 4 по 3 и получаваш 12. Добавяш онези 2 наум и полуваш 14. Записваш 4 челно пред последното дълго число и запазваш 1 наум. Получаваш 44827586206896551724137931. Умножаваш 4 по 3. Получаваш 12. Прибавяш онова 1 наум. Това дава 13. Записваш 3 челно пред последното дълго число и пазиш 1 наум. Получаваш 344827586206896551724137931. Сега умножаваш 3 по 3. Това дава 9. Прибавяш онова 1 наум и получаваш 10. Пишеш челно 0 пред дългото число и пазиш 1 наум. Получаваш 0344827586206896551724137931. Сега умножаваш 0 по 3. Това дава 0. Прибавяш 1 наум и това прави 1. Стигна до повтаряне на целия цикъл. Оттук нататък последното дълго число ще се възпроизвежда. Следователно това последно дълго число е периодът на дробта 1/29 и получаваме:

1/29 = 0, (0344827586206896551724137931)

Периодът на дробта 1/29 се оказа 28-цифрен! Е, малко си е играчка де, но пък е фасулска работа в сравнение с хамалското делене на двуцифрено число.

        Сега, любезни читателю, забележи следното любопитно свойство на числото в периода. Премествам последната цифра в него на челна позиция. Получава се числото 1034482758620689655172413793.

Забележи, че то е равно на числото от периода умножено по 3  !

Сега на новото число премести последната цифра отпред. Ще получиш числото 3103448275862068965517241379.

То се получава от предходното чрез умножение по 3 и т.н.

Има и много други любопитни свойства на тези числа. Всеки, който е достатъчно наблюдателен ще ги открие сам!