Нови признаци за делимост (продължение)

В материала си "Нови признаци за делимост": 

https://otkrovenia.com/bg/proza/novi-priznaci-za-delimost

ви изложих как да намирате признаци за делимост на едно нечетно число К, което не окончава на 5. Ключова роля в тези признаци играе едно ключово число X /простете ми играта на думи/, което намирате като най-малкото по абсолютна стойност число, за което числото 10.Х - 1 се дели на К. Нека /както преди/  А  е последната цифра на едно цяло положително число N. Тогава аз твърдя, че N се дели на К, точно когато числото

M = А.X + (N - А) /10

се дели на К.

Ето едно просто доказателство, като за ученици от ниските класове.

Трябва да установим фактически две неща:

1)  Ако М се дели на К, то и N се дели на К;

2)  Ако N се дели на К, то и М се дели на К.

Доказателство на 1).

Нека М се дели на К. Тогава и числото 10.М се дели на К /защото К е нечетно и не окончава на 5/. Имаме

10.М = 10.А.Х + N - А = (10.X - 1).А + N

Така получихме:

10.М = (10.X - 1).А + N.

Откъдето:

N = 10.М - (10.X - 1).А

В дясната страна на последното равенство числата М и (10.X - 1) се делят на К. А тогава цялата дясна страна се дели на К. Значи и N се дели на К.

Доказателство на 2).

Нека N се дели на К. Точно както в доказателствота на 1) достигаме до равенството:

10.М = (10.X - 1).А + N.

В дясната страна на последното равенство числата (10.X - 1) и N се делят на К. Значи цялата дясна страна се дели на К.

Но тогава числото 10.М се дели на К. Ала К е нечетно число, което не окончава на 5. Следователно, щом 10.М се дели на К, то и М се дели на К.

С това доказахме строго признака за делимост /базиран на ключовото число Х/ описан в:

https://otkrovenia.com/bg/proza/novi-priznaci-za-delimost