Още Аристотел е дал рамо на кристално ясната логика, наречена логика на изключеното трето. В нея всяко конкретно твърдение е вярно или невярно. Трето положение е изключено. В тази логика твърденията приличат на добре изсечени монети с две условни лица - ези /истина/ и тура /лъжа/.  Прието е да отъждествяваме истината с числото 1, а лъжата с 0. Макар че все по-често логиците търсят перверзното усещане на досег с многозначните логики, при които изходите не могат да се опишат само с числата 0 и 1, а са необходими и други - по-големи числа, а именно числата: 3, 4, 5, ..., etc., с помощта на подобни екзотики, поне засега, е трудно да се постигнат значими резултати в самото мислене, както и в кралицата на мисълта - математиката!
     Ще ми се да ви дам пределно прост пример, за да почувствате Аристотелевата логика. Да кажем, че ваш познат ви предложи да отречете логически твърдението:

Ако вали дъжд, то чадърът ми е отворен.

Убеден съм, че ще подцените тази на пръв поглед изглеждаща проста задача. Може би някои сред вас ще подходят припряно и ще предложат в ролята на логическо отрицание:

Ако не вали дъжд, то чадърът ми е затворен.

Уви, подобен анонс ни най-малко не решава казуса. Всъщност вярното отрицание вероятно ще ви шокира:

Вали дъжд и чадърът ми е затворен.

Но как бихте могли да стигнете до него? Уверявам ви, че за това се изисква не само интелигентност, но и определени познания. Работата е в това, че изходното твърдение:

Ако вали дъжд, то чадърът ми е отворен,

е записано с помощта на Булевата функция, известна като импликация. Тя формализира изрази от вида:

Ако х, то y.

В конкретния случай ролята на x играе "вали дъжд", а ролята на y - "чадърът ми е отворен".

Импликацията има странното свойство да приема стойност 0 единствено когато x=1 и y=0.
За всички останали комбинации, а те са:

x=0 , y=0 ;  x=0 ,  y=1 ; x=1 ,  y=1,

импликацията приема стойност 1. Да означим с (-x) логическото отрицание на x. Всеки един от вас би могъл да провери равенството:

(Ако х, то y) = ( (-х) или y).

В горното равенство съюзът "или" е известен още като основополагащ за т.нар. дисюнкция /друга небезизвестна Булева функция/. За да намерите отрицанието на импликацията, умножете формално двете страни на горното равенство по (-1). Ще получите равенството:

(-(Ако х, то y)) = (-((-х) или y)).

В дясната му страна може да вмъкнете стоящият отляво знак "-" в следващата скоба. Тъй като отрицанието на отреченото x е самото х, то ще получите, че тази дясна страна преминава в:

x и (-y)

/по един от законите на Де Морган/, защото отреченото "или" е всъщност "и", където съюзът "и" играе основополагаща роля при трета Булева функция, широко известна като конюнкция.

     Забележете, че финалният резултат, който току-що получихте, а именно: x и (-y), изказан словесно е точно:

Вали дъжд и чадърът ми е затворен.

     И така, може да изпитате известна доза гордост, че успяхте успешно да намерите вярното логическо отрицание на изходното твърдение.

      В математиката огромна роля играе множеството без елементи. Наричат го празно множество. Съществуването на това множество бива постулирано в аксиоматиката на Цермело и Френкел. От една страна то изразява простичкия факт, че от двете страни на барикадите живеят непресичащи се светове. Но празното множество притежава и едно друго, наистина удивително свойство - то е подмножество на всяко множество. От подобно заключение главата на всеки мислещ човек би се завъртяла. И наистина каквото и множество да си помислите, то нищо извън него не може да попадне в империята на празното множество, след като то самото няма елементи. Така логически заключаваме, че то /празното множество/ се вписва вътре в множеството от нашия мисловен експеримент. Но има и друга /еквивалентна/ гледна точка по въпроса, кога едно множество е подмножество на друго. А именно елементите му да са елементи и на другото множество.

      При тази гледна точка буди недоумение поведението на празното множество. То хем няма елементи, хем същевременно е подмножество на всяко множество. Истински парадокс, който ни кара да си помислим, че се касае за някакъв порок в логиката. Но на помощ отново ни идва онова странно свойство на импликацията да води до истинност, дори когато се основава на предположение, което е явна лъжа:

"Ако 2=1, то аз и римският папа сме едно и също лице",

възкликва /перифразирано/, не без основание, един от най-големите асове на математиката Готфри Харди в своята великолепна книга "Апология на математика".

Ако z е елемент /а такъв елемент няма!!!/ на празното множество, то z е елемент и на всяко друго множество!

На това уникално свойство на импликацията да получава стойност 1, дори когато лявата й страна е явна лъжа /т.е. има стойност 0/, се крепи елиминирането на привидния логически порок. Доверието в съществуването на множеството без елементи е възстановено!

      И все пак, какво би се случило, ако премахнем аксиомата за съществуване на това множество и го заменим с множество, което отново е подмножество на всяко друго множество /по самата си дефиниция/? Тогава това много специално множество ще съдържа един-единствен елемент - загадъчен и тайнствен. Той ще присъства, надянал сякаш шапка невидимка, във всяко множество. Този небивал елемент ще е вода, огън, небе, земя, число, храна и всичко, мислимо и немислимо от вас, напомняйки превъплъщенията на богиня Тетида в ръцете на гръцкия герой Пелей /баща на Ахил/. Бидейки сечение на всички множества, той същевременно ще ги съдържа, обединявайки ги в едно.   Съставлявайки същността на Нищото, този елемент ще изявява същевременно глобалната Всичкост. Ще бъде един странен кентавър между мистичното дао на древнокитайския философ Лао Дзъ и апейрона на древногръцкия философ Анаксимандър. Лежейки на дъното  на Небитието, този елемент ще изявява Вместилището на Битието! Лошата новина, обаче е, че ако допуснем този суперелемент в картинката, ще се лишим незабавно от изключеното трето. Не ми се мисли, как бихме съумявали да мислим за нещата при подобна перспектива. Ала съм длъжен да я отбележа!