Тайната на Ферма

Една от най-загадъчните личности в световната история е юристът от Тулуза Пиер дьо Ферма (1601 - 1665). През 1631 г. Ферма получава бакалавърска степен по право от университета в Орлеан. По-късно става депутат на парламента в Тулуза и съветник през 1634 г. През 1638 г. е назначен в наказателния съд, където нерядко издавал и смъртни присъди. Но голямата страст на Ферма е математиката. Въпреки, че той се изявявал като любител в нея, резултатите му са поразителни и епохални. Ферма пръв достига до идеята за диференциалното и интегрално смятане, впоследствие преоткрити от Лайбниц и Нютон. Ферма пръв достига и до т.нар. аналитична геометрия, днес свързвана и с името на Рене Декарт. Ферма открива в оптиката един принцип, на който се подчинява светлината при движението си в оптична среда между две дадени точки. Този принцип е известен днес като принцип на Ферма и гласи, че между всеки две точки светлината избира траекторията съответстваща на най-малкото време. От този глобален принцип, манифестиращ сякаш разумното поведение на избор от страна на светлината, незабавно следват другите оптични закони - този за отражението и за пречупването (последният е известен като закон на Снелиус). Но главната страст на Ферма са числата. Именно тук той прави невероятни открития. Едно от тях е т.нар. Малка теорема на Ферма, която Ферма строго доказва. Тя гласи, че ако изберете произволно просто число /т.е. число делящо се само на себе си и на 1/, например 19, а после изберете произволно цяло число M, то ако повдигнете М на степен 19 и от полученото число извадите М, разликата ще се дели без остатък на 19. Гениално, нали! Но Ферма обичал да се занимава с уравнения, неизвестните, в които са цели числа. Тези уравнения се наричат диофантови, в чест на древногръцкия математик Диофант, който през целия си живот се блъскал над тях и ги класифицирал като специална порода уравнения. С този вид уравнения са свързани и правоъгълните триъгълници с цели дължини на страните. Нека например целите числа x и y са дължини на катетите на правоъгълен триъгълник, а z е дължината на неговата хипотенуза. Тогава Питагоровата теорема дава:

x2 + y2  =  z2

Последното равенство е едно специално диофантово уравнение от втора степен. Решението на това уравнение е известно от най-древни времена, дори предшестващи това на Питагор. Накратко уравнението има безбройно много решения: x, y, z, наричани Питагорови тройки. Те се задават от една обща формула, зависяща от 2 параметъра. Най-малката такава тройка е:

x = 3, y = 4, z = 5.

С нейна помощ, чрез въженце с равноотстоящи възли, древните египтяни са построявали прав ъгъл.

Ферма се заинтригувал от въпроса съществуват ли правоъгълни триъгълници с дължини на катетите:

x2 ,  y2     

и с дължина на хипотенузата:

z2

Той доказал по много елегантен начин, наречен от него метод на безкрайното спускане, че такива правоъгълни триъгълници не съществуват. Вероятно това го е накарало да изкаже генералната хипотеза, че не съществуват правоъгълни триъгълници с дължини на страните степени на целите положителни числа x, y и z от вида n/2, където n e цяло положително число по-голямо от 2. Ферма написал в полето на една книга, че е намерил удивително доказателство на тази своя хипотеза, но че полето е твърде тясно, за да вмести това доказателство в него. Това удивително доказателство така и не било намерено след смъртта на Ферма. Хипотезата на Ферма била наречена Голямата теорема на Ферма /в противовес на Малката теорема на Ферма/, а също и Великата теорема на Ферма.  Тя остава недоказана чак до 1996г., когато американският математик Андрю Уайлдс анонсира едно нейно коригирано доказателство /първото, депозирано през 1993г., беше опровергано/, основано на Теорията на елиптичните криви. Доказателството на Уайлс се простира на цели 200 страници. Няма гаранция, че в него няма някакъв пропуск. То се базира на доказаното преди Уайлдс твърдение, че ако хипотезата на Ферма не е вярна, то от това следва съществуването на крива /крива на Фрей/ с някои специални свойства. С цената на огромни усилия Уайлдс, проверил, обаче, че подобна крива не може да съществува. Това е все едно да знаете, че ако хипотезата на Ферма не е вярна, то ще съществува дърво с корени в небето, а после да проверите, че такова дърво не може да съществува. Или пък, че баба ви е трамвай внесен от Германия през 1972г., а после в дебелите бумаги да проверите, че през 1972г. в България не е имало внос на немски трамваи. Казано по-простичко, доказателството на Уайлс е нерелевантно по отношение на областта /Теория на числата/, в която е формулирана хипотезата на Ферма. Днес почти никой не вярва, че Ферма е намерил т.нар. от него "удивително доказателство". Това прави цялата история още по-заплетена и загадъчна!