Текстът по-долу е продължение на есето: https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta ;

https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-2 ; https://otkrovenia.com/bg/eseta/mit-li-e-bezkrajnostta-3

          Предполагам, че дотук схванахте главното. А то е, че:

непротиворечивостта на аритметиката е неустановима без прибягването до различни, външни за нея хипотези!!!

Това означава само едно. А то е, че основите на земната математиката са несигурни. Техните врати зеят и не се знае дали някога през тях няма да нахлуят чудовища, като например митологичният Минотавър. Засега ние наивно вярваме, че горчивата чаша ще ни отмине, вероятно докато не настъпи момента, когато самолетите и ракетите ще престанат да летят, а птиците ще започнат да падат като камъни от небето. Не бих искал да ви плаша с апокалипсиси, макар че за себе си признавам, че съм доста сериозно уплашен. Наивното време на плахите надежди свършва, ала да не забравяме, че то започна с розовия период на Теория на множествата. Тази теория бе разработена от амбициозни логици, но що е това множество,  ей богу, така и няма кой строго да ни обясни. И най-големите адепти повдигат рамене при подобен закономерен въпрос, а обичайният им отговор е:

множество това е първично и интуитивно понятие.

Така или иначе всеки от нас, по един или друг начин, се е сблъсвал с въпросния термин и от собствен опит, уж, е развил някаква интуиция за него.  Множествата обещавали глобално основополагане на математиката - нещо като нейна правна уредба. Като за начало било постулирано съществуването на едно специално множество - наречено празното множество, т.е. множество без елементи. То е своеобразен аналог на нищото. Това специално множество има едно много интересно свойство.

Подмножество е на всяко едно множество.

По тази причина то не може да има същинско подмножество и следователно е най-малкото множество. Базирайки се на празното множество, Фреге, Ръсел, Уайтхед и фон Нойман - все колосални мислители и блестящи математици, предложили необичаен и в не малка степен парадоксален теоретико- множествен модел на целите положителни числа. Числото 0 да бъде разглеждано от теоретико множествена гледна точка като празното множество. Множеството с елемент празното множество да олицетворява числото 1. Това означава, че мислейки за нищото, ние тутакси го извеждаме от състоянието му на нищо и го превръщаме от 0 в 1. По същият начин, мислейки за множество елементите на което са празното множество и множеството състоящо се от празното множество, ние пораждаме числото 2. И така нататък - все в този дух, индуктивно генерираме всяко следващо цяло число. Така всяко цяло положително число се оказва своеобразна степен на авторефлексия на нищото, т.е. на празното множество, или другояче казано - негова развивка.

         Следва да отбележим, че празното множество и без специални предупреждения изглежда твърде опасно, противоречиво и патологично понятие за един трезв ум. То сякаш казва - пазете се от мен. Аз съм кутията на Пандора. Не ме отваряйте! Но така или иначе тази кутия била отворена. Сами преценете - не е ли теоретико-множественият модел на Фреге, Ръсел, Уайтхед и фон Нойман, който те дават на целите положителни числа, просто една

мимикрия на нищото.

И следва ли да имаме доверие на математика, която се основава на мимикрия на нищото?

Моят отговор е - категорично не!

Математиците винаги са били склонни към хазарт, но по отношение на основите на математиката са надминали в хазарта дори и най-големите комарджии.

           Празното множество има свойството, че не съдържа себе си като елемент, тъй като то въобще няма елементи. Това накарало блестящия философ и логик Бертранд Ръсел да си зададе въпроса дали съвкупността на всички множества е на свой ред множество? За да си изясни какъв е отговорът на този въпрос, Ръсел образувал съвкупността Р на всички множества, които не съдържат себе си като елемент. Ако тази съвкупност беше множество,  то със сигурност не е празно, защото съдържа като елемент празното множество. От друга страна е изключено P да не е елемент на себе си.  Наистина тогава по самата си дефиниция P ще съдържа себе си като елемент. Значи се оказва, че ако Р е множество, то това множество съдържа себе си като елемент. Ала това противоречи на дефиницията на P, която утвърждава, че в Р попадат само множества, които не са елементи на себе си!

            С това по същество елементарно логическо разсъждение, базирано на Аристотелевата логика на изключеното трето, Ръсел заключил, че:

съвкупността на всички множества не е вече множество!

Ситуация известна като парадокс на Ръсел. С неговата поява розовият период в Теорията на множествата приключил. Съвкупността на всички множества била наречена клас. От само себе си се разбира, че съвкупността на всички класове не може да е клас, в съгласие с току-що изложените Ръселовите разсъждения. Тя трябва да е клас от друг - следващ ред etc. С тази временна хитрина дупката на парадоксите била запушена. Станало ясно, обаче, че безкрайните съвкупности на обекти от даден вид, за жалост може вече да не са обекти от същия вид. Безкрайността престанала да бъде само формална антитеза на крайното. Оказало се, че тя има своите разслоения, своя йерархична структура.

/следва/