Представете си, че са ви върнали в детските години и някой чичко-провокатор ви предлага да сумирате числата 1 и 3. Вие го правите и получавате 4, което е 2 на квадрат. След това този чичко ви предлага да добавите и числото 5. Правите го и намиратe:

1 + 3 + 5 = 9.

Обзема ви лека откривателска възбуда, защото сте получили 3 на квадрат. Изпаднали в транс, забравяте за чичкото и продължавате сами сумирането:

1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Тук вероятно сте в шок, защото получихте 4 на квадрат. Вече сте сигурни и без колебание предсказвате, че:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 на квадрат.

Удивително, нали! Един смотан чичко ви направи откриватели още в детството. Остана само да си изясните закона на сумирането. Започвайки от 1 събирате само последователни нечетни числа и получавате винаги квадрат на някакво число. Но как точно да го опишете? Ще ви помогна с леко упътване. Вземете последното нечетно число от сумата и го увеличете с 1. Полученото число разделете на 2 и ще получите числото, което вдигате на квадрат. Ала опиянението ви от направеното откритие сигурно бързо ще премине след като съобразите, че вероятно хиляди години преди вас някой вече е извършил всичко това и вие всъщност само сте преоткрили един известен факт от древността. Не бързайте да се обезсърчавате, защото чичкото-маниак отново ще се появи и ще ви накара да съберете кубовете на числото 1 и 2. Направете го и ще получите 9. А това е 3 на квадрат. Интересното тук е, че 3 = 1 + 2. Така току-що получихте странното равенство:

1 на куб + 2 на куб = (1 + 2) на квадрат!

Но чичкото не познава милост и ви кара да пресметнете:

1 на куб + 2 на куб + 3 на куб. Получавате 36 = (1 + 2 + 3) на квадрат.

Странно, нали. Да не би да е някаква случайност? Без да чакате покана за следващото пресмятане, лесно проверявате, че:

1 на куб + 2 на куб + 3 на куб + 4 на куб = (1 + 2 + 3 + 4) на квадрат.

Леко завиждам на еуфорията, в която вече изпадате, защото току-що открихте тайнствен числов закон. А той гласи:

1 на куб + 2 на куб + 3 на куб + 4 на куб +...+ n на куб = (1 + 2 + 3 + 4 +...+ n) на квадрат.

Честито откриватели! Направихте първите си успешни стъпки в мистичното поле на сумирането. Но не се главозамайвайте! Защото и това откритие е известно от древността. Предстои ви, обаче, още едно важно откритие. Тайнственият чичко-провокатор ви нашепва, че:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 = (2 по 3) на квадрат = 6 на квадрат. Забележете, че n = 8 = 3 на квадрат - 1.

Слeдващият подобен случай е чак при n = 7 на квадрат. Това означава, че:

 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 49 = (5 по 7) на квадрат = 35 на квадрат.

А кога ще се яви по-следващият такъв случай? Чичкото-маниак ви предсказва, че това ще се случи чак при числото n = 17 на квадрат - 1 = 288. А това означава, че имате:

1 + 2 + 3 + 4 +...+288 = (12 по 17) на квадрат = 204 на квадрат.

Какъв е законът на лявата страна на изредените равенства? На какво n трябва да спре сумирането, така че дясната страна да е квадрат?

Вече забелязахте закономерност. Ако започнете от n = 1, то въпросните стойности на n принадлежат на редицата:

1, 8, 49, 288, ...

Бихте могли да я запишете и така:

1 на квадрат, 3 на квадрат - 1, 7 на квадрат, 17 на квадрат - 1, ...

Значи определяща за n се оказа редицата: 

1, 3, 7, 17,...

Ако забележите, че 7 = 2 по 3 + 1, 17 = 2 по 7 + 3, то от наблюдателното ви око няма да убегне, че всеки следващ член на тази редица се получава като удвоите предишния и към него прибавите по-предишния. Така че току-що отгатнахте закона генериращ тази безкрайна редица. Да я продължим заедно с още няколко члена:

1, 3, 7, 17, 41, 99, 239,...

Така вие най-накрая намерихте и закона управляващ въпросните числа n. Всяко такова n е член на редицата:

1 на квадрат, 3 на квадрат - 1, 7 на квадрат, 17 на квадрат - 1, 41 на квадрат, 99 на квадрат - 1, 239 на квадрат etc.

П.П Ще ви издам една малка тайна. Това откритие споходи чичкото-маниак в неговата юношеска възраст, под пестеливите капки на един скъпернически душ. И то едва ли е било известно някому някога.

Да живее водата! Особено топлата!! "Еврика!!!"