Отговор на Светата троица

              В материала си, озаглавен "Светата троица", качен на линк:

https://otkrovenia.com/bg/proza/svetata-troica-5

ви предложих да намерите три цели положителни числа, сборът на които се равнява на произведението им. krvelkov отгатна верния отговор: Числата са: 1, 2 и 3. Признателен съм му. Но в задачата имаше и допълнително условие: Ако има и други такива тройки числа, те да бъдат намерени.

               По-долу ще ви докажа, че други такива числа няма.

               Да означим търсените числа с x, y, z. Очевидно не може да имаме x = y = z, защото тогава бихме имали x^2 = 3. Но това е невъзможно, защото x e цяло число.

               Нека x < y <= z. Ако x = 1, от условието на задачата: x + y + z = xyz намираме: 1 + y + z = yz.

Последното равенство преписваме най-напред във вида: (y + 1) / (y - 1) = z. А после във вида: 1 + 2 / (y - 1) = z. Тъй като y и z са цели числа, то от последното равенство следва, че y = 2. А тогава намираме z = 3.

                Така доказахме, че ако x = 1, то имаме: y = 2 и z = 3.

                Нека сега да разгледаме случая x > 1. Тогава имаме: y > 2.

В лявата страна на равенството: x + y + z = xyz заменяме x и y със z. Така увеличаваме тази лява страна. Следователно ще е в сила неравенството: 3z > xyz. А тогава трябва да имаме: 3 > xy.  Последното неравенство, обаче, е невъзможно, защото x > 1 и y > 2.  С това доказахме, че не съществуват решения на задачата, за които x > 1. Следователно задачата има единствено решение и то е:

x = 1, y = 2, z = 3.

П.П. По-наблюдателните от вас вероятно са обърнали внимание на факта, че аз пропуснах да разгледам един съществен случай. А  това е случаят: x = y < z.  Ще запълня тази празнота. В този случай не може да имаме: x = 1, защото това ни води до абсурдното равество: 2 + z = z.  Следователно x = y > 1 и изходното равенство:

x + y + z = xyz,

преминава в равенството:

2y + z = zy^2.

От него намираме:

z = (2y) / (- 1 + y^2).

За y = 2 намираме z = 4 / 3, което противоречи на факта, че z е цяло число. Следователно y > 2. Но тогава знаменателят на дробта (2y) / (- 1 + y^2) е по-голям от числителя й, което означава, че отново z не може да бъде цяло число.